Autofunzioni del momento angolare

In meccanica quantistica, le autofunzioni del momento angolare sono le autofunzioni che rappresentano gli autostati dell'operatore momento angolare nella base della posizione.

Autofunzioni di L_z

Considerata la componente $L_z$ del momento angolare:

$L_z=x{p}_y-y{p}_x=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$

risolvendo l'equazione agli autovalori:

$L_z\psi (x,y,z)=m\hslash \psi (x,y,z)$

Riscriviamo l'operatore $L_z$ in coordinate sferiche:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \sin \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \theta \end{array}$

Allora le derivate parziali diventano:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}=\cos \phi \sin \theta \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \phi \cos \theta \frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{1}{r}\frac{\sin \phi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\\ \frac{\partial }{\partial y}=\sin \phi \sin \theta \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\sin \phi \cos \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r}\frac{\cos \phi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\\ \frac{\partial }{\partial z}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{1}{r}\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\end{array}$

L'operatore $L_z$ diventa:

$L_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }$

L'equazione agli autovalori per $L_z$ diventa ($\psi$ dipende solo da $\phi$):

$-i\hslash \frac{\partial \psi (\phi )}{\partial \phi }=m\hslash \psi (\phi )$

questa è un'equazione differenziale al primo ordine, con soluzione generale:

$\psi (\phi )=C{e}^{im\phi }$

Non resta che trovare il valore della costante, che deve essere tale che:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|\psi (\phi ){|}^{2}d\phi =|C{|}^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi =1$

da cui:

$C=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Per cui l'autofunzione di $L_z$ è in definitiva:

$\psi (\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }$

Le espressioni di $L_x$ ed $L_y$ sono:

$\{\begin{array}{c}{L}_x=i\hslash (\sin \phi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \phi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \phi })\\ L_y=i\hslash (-\cos \phi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\sin \phi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \phi })\end{array}$

ovviamente non vi è nessun motivo particolare per scegliere la componente $L_z$, ma visto che una rotazione degli assi nello spazio non modifica lo stato quantistico, possiamo sempre immaginare di porci con l'asse $z$ in modo tale che il momento angolare abbia proiezione su $z$.

Autofunzioni di L²

Riscriviamo il momento angolare (quadrato) ${\overrightarrow{L}}^2$ in coordinate polari sferiche:

${\overrightarrow{L}}^2=-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]$

e gli operatori di scala sempre in coordinate polari sferiche:

$L_{\pm }=\hslash e^{\pm i\phi }(\pm \frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot \theta \frac{\partial }{\partial \phi })$

Sappiamo che l'autofunzione è simultanea di ${\overrightarrow{L}}^2$ e $L_z$. Abbiamo trovato la soluzione di $L_z$. Esprimiamo l'autofunzione completa con:

$Y_{l,m}(\theta ,\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\cdot \mathrm{\Phi }(\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\cdot e^{im\phi }$

dove si è sostituita la soluzione per $L_z$. Ci resta da determinare $\mathrm{\Theta }(\theta )$, che dipende solo dall'angolo $\theta$. Per fare ciò cerchiamo la soluzione dell'equazione agli autovalori, ricordando che gli autovalori del momento angolare orbitale sono $l(l+1)$:

$-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]Y_{l,m}(\theta ,\phi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\phi )$

Esplicitiamo la soluzione per $\mathrm{\Phi }(\phi )$ trovata sopra:

$-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]e^{im\phi }\mathrm{\Theta }(\theta )={\hslash }^{2}l(l+1)e^{im\phi }\mathrm{\Theta }(\theta )$

quindi eseguendo la derivata seconda sull'esponenziale al primo membro e semplificando ${\hslash }^2$:

$[-\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]\mathrm{\Theta }(\theta )=l(l+1)\mathrm{\Theta }(\theta )$

Facciamo un cambio di variabile esprimendo tutto in termini di $\cos \theta$:

$\theta \to \cos \theta \Rightarrow \frac{\partial }{\partial \theta }=-\sin \theta \frac{\partial }{\partial (\cos \theta )}$

quindi:

$[\frac{m^2}{1-{\cos }^2\theta }-\frac{\partial }{\partial (\cos \theta )}((1-{\cos }^2\theta )\frac{\partial }{\partial (\cos \theta )})]\mathrm{\Theta }(\cos \theta )=l(l+1)\mathrm{\Theta }(\cos \theta )$

Per $m=0$ questa equazione è quella di Liouville:

$-\frac{\partial }{\partial (\cos \theta )}((1-{\cos }^2\theta )\frac{\partial }{\partial (\cos \theta )}){\mathrm{\Theta }}_{l,m=0}(\cos \theta )=l(l+1){\mathrm{\Theta }}_{l,m=0}(\cos \theta )$

con soluzione:

${\mathrm{\Theta }}_{l,m=0}=\frac{(-1{)}^l}{2^l\cdot l!}\frac{d^l}{d(\cos \theta {)}^l}(1-{\cos }^2\theta {)}^l$

La soluzione ${\mathrm{\Theta }}_{l,m}$ è:

${\mathrm{\Theta }}_{l,m}=C\frac{1}{(\sin \theta {)}^m}{\left(\frac{d}{d(\cos \theta )}\right)}^{l-m}(1-{\cos }^2\theta {)}^l$

dove C è una costante di normalizzazione.

Armoniche sferiche

Template:Vedi anche Abbiamo quindi trovato che l'autofunzione del momento angolare ${\overrightarrow{L}}^2$ e della sua componente $L_z$ (è simultanea perché $[{\overrightarrow{L}}^2,L_z]=0$) può essere espressa:

$Y_{l,m}(\theta ,\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\cdot \mathrm{\Phi }(\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\cdot e^{im\phi }$

dove:

$\mathrm{\Phi }(\phi )=e^{im\phi }$

e

${\mathrm{\Theta }}_{l,m}=C\frac{1}{(\sin \theta {)}^m}{\left(\frac{d}{d(\cos \theta )}\right)}^{l-m}(1-{\cos }^2\theta {)}^l$

dove inglobiamo le costanti di normalizzazione nel fattore C. Quindi la soluzione completa è data:

$Y_{l,m}(\theta ,\phi )=C\frac{e^{im\phi }}{(\sin \theta {)}^m}{\left(\frac{d}{d(\cos \theta )}\right)}^{l-m}(1-{\cos }^2\theta {)}^l$

queste soluzioni sono ben note alla fisica matematica e si chiamano armoniche sferiche, che dipendono ovviamente dai valori di $l=0,1,\dots$ ed $m=-l,-l+1,\dots ,l$. Le armoniche sferiche hanno importanti proprietà di parità, tra le quali:

$Y_{l,m}(\pi -\theta ,\phi +\pi )=(-1{)}^l{Y}_{l,m}$

che ha un diretto significato fisico, essa rappresenta l'inversione spaziale delle coordinate polari sferiche.

Bibliografia

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Voci correlate

• Numero quantico
• Numero quantico orbitale
• Operatore momento angolare
• Spin