Tensore elettromagnetico

In fisica, in particolare in elettromagnetismo, il tensore elettromagnetico, anche detto tensore del campo elettromagnetico, tensore dello sforzo del campo, tensore di Faraday o bivettore di Maxwell, è un tensore che descrive il campo elettromagnetico.

Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski, e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.

Definizione

Il tensore elettromagnetico $F_{\alpha \beta }$ è definito come:

$F_{\alpha \beta }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}-\frac{\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\partial }_{\alpha }{A}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }$

dove $A_{\alpha }$ è il potenziale quadrivettoriale:

$A^{\alpha }=(\frac{\varphi }{c},𝐀)$

in cui $𝐀$ è il potenziale magnetico, un potenziale vettore, e $\varphi$ è il potenziale elettrico, un potenziale scalare. La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:

$𝐄=-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\varphi 𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Ad esempio, le componenti $x$ sono:

$E_x=-\frac{\partial A_x}{\partial t}-\frac{\partial \varphi }{\partial x}{B}_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}$

che si possono riscrivere (ricordando che abbassando gli indici del tensore A tramite la metrica di Minkowski cambiamo segno alla componente temporale) come:

$E_1=c({\partial }_0{A}_1-{\partial }_1{A}_0)B_1={\partial }_2{A}_3-{\partial }_3{A}_2$

Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale $A_{\mu }$:

$F_{\mu \nu }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}d{A}_{\mu }$

Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:

$F^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]=(\frac{𝐄}{c},𝐁)$

oppure:

$F_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]=(-\frac{𝐄}{c},𝐁)$

Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico:

$F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }$

la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz:

$F_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }=2(B^2-\frac{E^2}{c^2})=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$

mentre il prodotto del tensore $F^{\alpha \beta }$ con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare:

$\frac{1}{2}{\epsilon }_{\alpha \beta \gamma \delta }{F}^{\alpha \beta }{F}^{\gamma \delta }=-\frac{4}{c}(𝐁\cdot 𝐄)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$

dove ${\epsilon }_{\alpha \beta \gamma \delta }$ è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita. Si noti che:

$\det \left(F\right)=\frac{1}{c^2}{(𝐁\cdot 𝐄)}^2$

Derivazione

Template:Vedi anche Si consideri una particella con carica elettrica $e$ e massa $m$ posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico. Sia $𝐯=\dot{𝐫}$ la velocità della particella e $𝐩=e𝐀(𝐫,t)$ la quantità di moto, con $𝐀$ il potenziale vettore. La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:

$U=e\varphi (𝐫,t)-e𝐀(𝐫,t)\cdot \dot{𝐫}T=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}$

dove $\varphi$ è il potenziale elettrico. La lagrangiana $ℒ$ permette di descriverne il moto, ed è definita come:

$ℒ=T-U=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}+e𝐀\cdot \dot{𝐫}-e\varphi$

ovvero:

$ℒ=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+e(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y+\dot{z}{A}_z)-e\varphi$

In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare) $ds=\sqrt{d{x}_{i}d{x}^i}$, dove $x^i$ è la posizione, l'azione $𝒮$ è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:

$𝒮=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒdt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(-mcds-\frac{e}{c}{A}_{i}d{x}^i)$

con $A_i$ il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle fasi è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso ($\delta 𝒮=0$), ovvero:

$\delta 𝒮=\delta \int (-mcds-\frac{e}{c}{A}_{i}d{x}^i)=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(mc\frac{d{x}_{i}d\delta x^i}{ds}+\frac{e}{c}{A}_{i}d\delta x^i+\frac{e}{c}\delta A_{i}d{x}^i)=0$

Se si integra per parti si ottiene:

$\int (mcd{u}_i\delta x^i+\frac{e}{c}\delta x^{i}d{A}_i+\frac{e}{c}\delta A_{i}d{x}^i)-(mc{u}_i+\frac{e}{c}{A}_i)\delta x^i|=0$

con $u_i=\frac{d{x}_i}{ds}$ la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:

$\delta A_i=\frac{\partial A_i}{\partial x^k}\delta x^{k}d{A}_i=\frac{\partial A_i}{\partial x^k}d{x}^k$

si ha:

$\int (mcd{u}_i\delta x^i+\frac{e}{c}\delta x^i\frac{\partial A_i}{\partial x^k}d{x}^k+\frac{e}{c}\frac{\partial A_i}{\partial x^k}\delta x^{k}d{x}^i)=[mc\frac{d{u}_i}{ds}-\frac{e}{c}(\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k})u^k]\delta x^{i}ds=0$

dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che $d{u}_i=(d{u}_i/ds)ds$ e $d{x}^i=d{u}^{i}ds$. Ponendo:

$F_{ik}\equiv \frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k}$

si ha:

$mc\frac{d{u}_i}{ds}-\frac{e}{c}{F}_{ik}{u}_k=0$

che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.

In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:

$ℒ=\overline{\psi }(i\hslash c{\gamma }^{\alpha }{D}_{\alpha }-m{c}^2)\psi -\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }$

incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).

Equazioni di Maxwell in forma tensoriale

Template:Vedi anche L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:

$𝒮=\int (-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }){\mathrm{d}}^{4}x$

dove ${\mathrm{d}}^{4}x$ è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:

$\begin{array}{cc}ℒ& =-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\\ & =-\frac{1}{4{\mu }_0}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu })({\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })\\ & =-\frac{1}{4{\mu }_0}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }_{\mu }{A}_{\nu }{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }+{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })\end{array}$

Il primo e il quarto termine sono uguali, perché $\mu$ e $\nu$ sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:

$ℒ=-\frac{1}{2{\mu }_0}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }{\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }{\partial }^{\mu }{A}^{\nu })$

Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:

${\partial }_{\nu }\left(\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\nu }{A}_{\mu })}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial A_{\mu }}=0$

dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:

${\partial }_{\nu }({\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })=0$

in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo $F^{\mu \nu }$, e quindi:

${\partial }_{\nu }{F}^{\mu \nu }=0$

Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:

$E^i/c=-F^{0i}{\epsilon }^{ijk}{B}^k=-F^{ij}$

dove $i$ and $j$ prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times 𝐁-\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}={\mu }_0𝐉$

e si riducono a:

${\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$

dove:

$J^{\nu }=(c\rho ,𝐉)$

è la quadricorrente. Le equazioni omogenee:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0\frac{\partial 𝐁}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\times 𝐄=0$

si riducono invece a:

${\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }+{\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }=0$

Trasformazioni del campo elettromagnetico

Template:Vedi anche Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale $K$ alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale $K^{\prime }$, il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:

$F{\text{'}}^{\alpha \beta }=\frac{\partial x{\text{'}}^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}\frac{\partial x{\text{'}}^{\beta }}{\partial x^{\delta }}{F}^{\gamma \delta }$

Detta $A$ la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:

$F^{\prime }=AF{A}^{*}$

dove l'asterisco denota la matrice trasposta.

Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di $K^{\prime }$ rispetto a $K$ lungo l'asse delle ascisse con velocità $c\beta$ sono:

${E_1}^{\prime }=E_1{B_1}^{\prime }=B_1$

${E_2}^{\prime }=\gamma (E_2-\beta B_3){B_2}^{\prime }=\gamma (B_2+\beta E_3)$

${E_3}^{\prime }=\gamma (E_3+\beta B_2){B_3}^{\prime }=\gamma (B_3-\beta E_2)$

Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:

${𝐄}^{\prime }=\gamma (𝐄+\overrightarrow{\beta }\times 𝐁)-\frac{{\gamma }^2}{\gamma +1}\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\cdot 𝐄)$

${𝐁}^{\prime }=\gamma (𝐁-\overrightarrow{\beta }\times 𝐄)-\frac{{\gamma }^2}{\gamma +1}\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\cdot 𝐁)$

Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Campo elettromagnetico
• Equazioni di Maxwell
• Metrica di Minkowski
• Potenziale elettrico
• Potenziale magnetico
• Potenziale scalare
• Potenziale vettore
• Principio di Hamilton
• Quadripotenziale
• Tensore
• Trasformazione di Lorentz