Quadrivelocità

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce $c$ (esso ha quindi solo direzione variabile).

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:

$v^{\mu }=\gamma (c,𝐯)$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\Vert 𝐯{\Vert }^2}{c^2}}}$

con $\Vert 𝐯\Vert$ la norma euclidea della velocità classica $𝐯$.

Derivazione

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate $x_i(t)$, con $i\in \{1,2,3\}$, espresse in funzione del tempo $t$:

$𝐱=(x_i(t))=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right]$

dove $x_i(t)$ è l'i-esima componente della posizione al tempo $t$. Le componenti della velocità $𝐯$ nel punto $p$ tangente alla traiettoria sono:

$𝐯=\frac{\mathrm{d}𝐱}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)=(\frac{\mathrm{d}{x}_1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}_3}{\mathrm{d}t})$

dove le derivate sono valutate in $p$.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono $x^{\mu }(\tau )$, con $\mu \in \{0,1,2,3\}$, in cui $x_0$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio $\tau$:

$x^{\mu }(\tau )=\left[\begin{array}{c}{x}_0(\tau )\\ x_1(\tau )\\ x_2(\tau )\\ x_3(\tau )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ct\\ x_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right]$

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

$t=\gamma \tau$

la quadrivelocità relativa a $𝐱(\tau )$ è definita come:

$v^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }$

Componenti

La relazione tra $t$ e $x_0$ è data da

$x_0=ct=c\gamma \tau$

Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio $\tau$ si ottiene la componente $v^{\mu }$ per $\mu =0$:

$v_0=\frac{\mathrm{d}{x}_0}{\mathrm{d}\tau }=c\gamma$

Utilizzando la regola della catena, per $\mu =i=1,2,3$ si ha:

$v_i=\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}\frac{\mathrm{d}{x}_0}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}c\gamma =\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}(ct)}c\gamma =\frac{1}{c}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}c\gamma =\gamma \frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}=\gamma v_i$

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

$v_i=\frac{d{x}_i}{dt}$

La quadrivelocità è pertanto:

$v^{\mu }=\gamma (c,𝐯)$

Norma

Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo $\gamma =1$ e $𝐯=0$, pertanto $v^{\mu }=(c,0,0,0)$ e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

$v_{\mu }{v}^{\mu }=c^2$

se la segnatura della metrica di Minkowski è $(-1,1,1,1)$:

$v_{\mu }{v}^{\mu }=-c^2$

e inoltre:

$\Vert v^{\mu }\Vert =\sqrt{|v_{\mu }{v}^{\mu }|}=c$

La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità $𝐯$ non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui $𝐯=c$). Differenziando, nella trivelocità $𝐯$, una componente di trascinamento, $v_0$, e una componente riferita al sistema in moto, ${𝐯}_1$, si può calcolare la diminuzione di ${𝐯}_1$quando essa è misurata nel sistema in quiete.

Bibliografia

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  • Vol I, par. 13.1: I quadrivettori, p.25-4
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Voci correlate

• Composizione delle velocità
• Dilatazione del tempo
• Quadriaccelerazione
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski

Collegamenti esterni

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