Potenziale scalare

Il potenziale scalare di un dato campo vettoriale è un campo scalare il cui gradiente è uguale a quel campo vettoriale, ed è studiato in matematica applicata, in particolare nel calcolo vettoriale. Storicamente il concetto è nato per descrivere il campo elettrostatico.

Definizione

Dato un campo vettoriale $𝐕:\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^k\to {ℝ}^k$ di classe $C^1$, si chiama potenziale scalare una funzione $\varphi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ di classe $C^2$ tale che:

$\mathrm{\nabla }\varphi =-𝐕$

ovvero il gradiente di $\varphi$ è il campo vettoriale stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo. In questo caso il carattere vettoriale del campo $𝐕$ si perde poiché esso può essere descritto da un campo scalare (con conseguente perdita di entropia di informazione),

In modo equivalente, se $𝐕$ è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di $𝐕$ in $𝐫$ rispetto alla posizione ${𝐫}_0$ è dato dall'integrale di linea:

$\varphi (𝐫)=-\underset{C}{\int }𝐕(𝐫)\cdot d𝐫=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}𝐕(𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)dt$

dove $C$ è una qualsiasi curva regolare a tratti contenuta in $\mathrm{\Omega }$ che congiunge ${𝐫}_0$ a $𝐫$:

$a\le t\le b𝐫(a)={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}𝐫(b)=𝐫$

In tre dimensioni, ponendo $𝐫=(x,y,z)$ e ${𝐫}_0=(x_0,y_0,z_0)\in \mathrm{\Omega }$ si ha(a patto che il dominio $\mathrm{\Omega }$ sia connesso per spezzate):

$\varphi (x,y,z)-\varphi (0,0,0)=-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{V}_x(t,0,0)dt-\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}{V}_y(x,t,0)dt-\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}{V}_z(x,y,t)dt$

e le componenti di $𝐕$ sono:

$V_x(x,y,z)=-\frac{\partial \varphi }{\partial x}(x,y,z)$

$V_y(x,y,z)=-\frac{\partial \varphi }{\partial y}(x,y,z)$

$V_z(x,y,z)=-\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x,y,z)$

ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile $x$, $y$ e $z$. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante.

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Calcolo del potenziale scalare

Per mostrare come si calcola il potenziale di un campo conservativo, illustreremo l'idea del procedimento in dimensione 2 e forniremo poi un esempio in dimensione 3.

Dalla relazione $\frac{\partial \varphi }{\partial x}(x,y)=f_1(x,y)$, otteniamo $\varphi (x,y)=F_1(x,y)+{\psi }_1(y)$, dove $F_1(x,y)$ è una qualunque primitiva di $f_1(x,y)$, ossia che soddisfa $\frac{\partial F_1}{\partial x}(x,y)=f_1(x,y)$, mentre ${\psi }_1(y)$ è una funzione per il momento incognita che rappresenta la costante di integrazione rispetto a $x$ e che dipende solo da $y$. Per determinare tale funzione, deriviamo l'ultima relazione rispetto a $y$, ottenendo $\frac{d{\psi }_1}{dy}=\frac{\partial \varphi }{\partial y}(x,y)-\frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y)=f_2(x,y)-\frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y)=g(y)$. Detta $G(y)$ una qualunque primitiva di $g(y)$, avremo quindi ${\psi }_1(y)=G(y)+c$ e dunque in definitiva $\varphi (x,y)=F_1(x,y)+G(y)+c$

Esempio di calcolo del potenziale

Consideriamo il campo vettoriale in ${ℝ}^3$ $𝐟(x,y,z)=2yz𝐢+2z(x+3y)𝐣+(y(2x+3y)+2z)𝐤$. È immediato verificare che $\mathrm{\nabla }\times 𝐟=0$, e dunque che il campo è conservativo.

Integrando la relazione $\frac{\partial \varphi }{\partial x}(x,y,z)=2yz$, otteniamo $\varphi (x,y,z)=2xyz+{\psi }_1(y,z)$. Derivando tale identità rispetto a $y$ e usando il fatto che $\frac{\partial \varphi }{\partial y}(x,y,z)=2xz+6yz$ otteniamo $\frac{\partial {\psi }_1}{\partial y}(y,z)=6yz$, da cui ${\psi }_1(y,z)=3y^{2}z+{\psi }_2(z)$. Derivando ora questa identità rispetto a $z$ e usando il fatto che $\frac{\partial \varphi }{\partial z}(x,y,z)=2xy+3y^2+2z$, otteniamo che $\frac{d{\psi }_2}{dz}(z)=2z$, ossia che ${\psi }_2(z)=z^2+c$. Concludiamo che tutti i potenziali di $𝐟$ sono dati dalla formula $\varphi (x,y,z)=2xyz+3y^{2}z+z^2+c$

Potenziale gravitazionale

Rappresentazione del potenziale gravitazionale tra la Terra e la Luna.

Nell'ambito della meccanica classica, secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme, o da un corpo rigido con densità a simmetria sferica (si veda il teorema del guscio sferico), di massa $m$, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:

${𝐠}_{(𝐫)}=-G\frac{m}{r^2}\cdot {\widehat{𝐮}}_r$

dove $r$ è il modulo della distanza e ${\widehat{𝐮}}_r$ il suo versore, mentre $G$ è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale avrà l'espressione:

$w_{(𝐫)}=-G\frac{m}{r}+C=\frac{U_{(𝐫)}}{m_r}$

dove $U_{(𝐫)}$ è l'energia potenziale gravitazionale del corpo di massa $m_r$ posizionato in $r$. Per convenzione, la costante additiva $C$ si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per $r$ tendente all'infinito.

Quando si consideri una fascia limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante (con modulo pari a $g$) diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:

$w_{(z)}=gz+C$

dove $g$ è il valore dell'accelerazione di gravità medio in quella regione; si tenga presente che sulla superficie terrestre esso è in media pari a circa 9,81 m/s². La costante $C$ può essere scelta arbitrariamente perché all'interno della fascia sono di interesse solo le variazioni di potenziale. L'unità di misura del potenziale gravitazionale è il J/kg (joule su chilogrammo).

Potenziale elettrostatico

Template:Vedi anche Il fatto che il campo elettrostatico sia rappresentabile come un potenziale scalare è legato al fatto che sia un campo irrotazionale (caso particolare della legge di Faraday per l'elettrostatica):

$\mathrm{\nabla }\times {𝐄}_0=\mathrm{𝟎},$

infatti in questo caso il teorema del rotore garantisce che un campo di rotore nullo ha un semplice potenziale scalare:

${𝐄}_0=-\mathrm{\nabla }V,$

qui $V$ è il potenziale scalare che abbiamo associato al campo elettrostatico, chiamato potenziale elettrostatico. L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti $A$ e $B$ di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 volt se la forza elettrica compie il lavoro di 1 joule per portare una carica di 1 coulomb da $A$ a $B$. Nel caso generale dell'elettrodinamica la legge di Faraday rende invece il campo elettrico rotazionale in modo proporzionale alla variazione nel tempo del campo magnetico:

$\mathrm{\nabla }\times {𝐄}_0=-\frac{\partial B}{\partial t}.$

D'altra parte, la legge di Gauss magnetica equivale per il teorema della divergenza a dire che il campo magnetico ammette un potenziale vettore:

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Rispetto al caso precedente basta aggiungere un termine:

$𝐄=E_0-\frac{\partial 𝐀}{\partial t},$

ossia la legge di Faraday corrisponde ad esprimere il campo elettrico nella seguente funzione dei potenziali elettrostatico e magnetico:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }V-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}.$

Energia elettrostatica

Il potenziale elettrico corrisponde all'energia potenziale associata ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

$V_{(r)}=\frac{U_{(r)}}{q}$

Potenziale fluidodinamico

Template:Vedi anche In fluidodinamica, un flusso irrotazionale può essere descritto introducendo un potenziale scalare $\varphi$, tale per cui il suo gradiente corrisponda al campo di velocità. Nel caso in cui il flusso sia anche incomprimibile (flusso potenziale incomprimibile), il potenziale soddisfa l'equazione di Laplace ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$.

Pressione

Template:Vedi anche In fluidodinamica e in fluidostatica classiche se viene introdotta la semplificazione di fluido ideale, la pressione è l'energia potenziale per unità di volume delle forze di superficie. In fluidostatica nello stesso tempo lo è anche delle forze di volume.

Diffusività materiale

Template:Vedi anche La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, $𝐃$:

$𝐯=-\mathrm{\nabla }D+\mathrm{\Delta }v$.

mentre nel caso generale, in cui il rotore della velocità non è nullo, la velocità è funzione anche di altri parametri legati ad esso.

Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)
• Template:En D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005)

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo scalare
• Campo vettoriale
• Campo vettoriale conservativo
• Energia potenziale gravitazionale
• Gradiente
• Potenziale elettrico
• Potenziale vettore