Omomorfismo di anelli

In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Definizione

Siano $(A,+,\cdot )$ e $(B,\oplus ,\odot )$ due anelli. Una funzione $f:A⟶B$ è un omomorfismo di anelli se, per ogni $a,b\in A$,

• $f(a+b)=f(a)\oplus f(b);$
• $f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b).$

Di conseguenza, $f$ è un omomorfismo di anelli se e solo se è un omomorfismo tra i gruppi $(A,+)$ e $(B,\oplus )$ e tra i semigruppi $(A,\cdot )$ e $(B,\odot )$.

Se $f$ è una funzione biunivoca, allora la sua inversa $f^{-1}$ è anch'essa un omomorfismo di anelli. In tal caso, $f$ è detto isomorfismo di anelli.

La composizione di due omomorfismi di anelli è un omomorfismo di anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Omomorfismi unitari

Se i due anelli sono unitari, e l'immagine dell'unità di $A$ è l'unità di $B$, allora l'omomorfismo è detto unitario. Spesso, in contesti in cui tutti gli anelli considerati sono unitari (come ad esempio nella gran parte dell'algebra commutativa) vengono considerati solo gli omomorfismi unitari.

In questo caso, $f$ induce una mappa tra gli elementi invertibili di $A$ e gli elementi invertibili di $B$, che risulta essere un omomorfismo di gruppi.

Esempi

Esempi banali di omomorfismi sono l'identità $\mathrm{i}\mathrm{d}:A⟶A$, l'inclusione di anelli $i:A⟶B$ (dove $B$ è un sottoanello di $A$) e l'omomorfismo nullo che manda ogni elemento di $A$ nello zero di $B$. Mentre l'identità è sempre un omomorfismo unitario e l'omomorfismo nullo non lo è mai, un'inclusione può non essere unitaria anche se entrambi gli anelli possiedono unità: ad esempio, se $A$ è un anello, $A\times A$ il prodotto diretto di $A$ con sé stesso (ovvero il prodotto cartesiano dotato delle operazioni termine a termine) allora l'inclusione $f$ tale che $f(a)=(a,0)$ è un omomorfismo, ma non è un omomorfismo unitario.

Un altro esempio di omomorfismo è la funzione $f:\mathbb{Z}⟶{\mathbb{Z}}_n$, definita come $f(a)=[a]$ (dove ${\mathbb{Z}}_n$ è l'anello delle classi di resto modulo $n$). Viceversa, l'unico omomorfismo da ${\mathbb{Z}}_n$ a $\mathbb{Z}$ è l'omomorfismo nullo.

Dato un anello commutativo $A$, e un elemento $a\in A$, la funzione che associa ad ogni polinomio $p$ di $A[X]$ la sua valutazione $p(a)$ è un omomorfismo da $A[X]$ ad $A$, detto omomorfismo di valutazione. Esso è usato, ad esempio, nella teoria di Galois e nello studio dei polinomi a valori interi.

Proprietà

• Il nucleo di $f$,

$\ker (f)=\{a\in A|f(a)=0\}$

è un ideale bilatero di $A$. Viceversa, ogni ideale bilatero di $A$ è il nucleo di un omomorfismo di anelli. Al contrario, gli ideali destri ma non sinistri (o viceversa) non sono nuclei di alcun omomorfismo. Se $A$ è commutativo e $B$ è un dominio d'integrità, allora il nucleo è un ideale primo di $A$.

• L'immagine di $f$ è un sottoanello di $B$.
• Se $A$ è un corpo (ad esempio, se è un campo) ed $f$ è non nullo, allora è iniettivo. Questo segue dal fatto che i corpi non hanno ideali bilateri non banali.
• Per ogni anello unitario $A$, esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi $\mathbb{Z}$ ad $A$, detto omomorfismo caratteristico dell’anello $A$. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello $\mathbb{Z}$ è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli unitari.

Bibliografia

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Voci correlate

• Omomorfismo
• Anello (algebra)
• Ideale (matematica)