Polinomio a valori interi

In matematica, un polinomio a valori interi è un polinomio $P(x)$ a coefficienti razionali tale che $P(n)$ è un numero intero per ogni intero $n$. Tutti i polinomi a coefficienti interi sono a valori interi, ma non viceversa: ad esempio, il polinomio

$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

è a valori interi ma i suoi coefficienti non sono interi.

Classificazione

Tutti i polinomi nella forma

$P_k(x)=\frac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}$

sono polinomi a valori interi, perché per ogni intero $t$ il valore di $P_k(t)$ è uguale al coefficiente binomiale $(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{k})$, che è un numero intero.

Pólya dimostrò nel 1919 che tutti i polinomi a valori interi derivano da questi: più precisamente, se $P(x)$ è un polinomio a valori interi allora esistono dei coefficienti interi $a_0,\dots ,a_n$ (univocamente determinati) tali che

$P(x)=a_0+a_1{P}_1(x)+\cdots +a_n{P}_n(x)$.

Dal punto di vista algebrico, questo implica che l'insieme dei polinomi a valori interi è un gruppo abeliano libero, e l'insieme $\{1,P_1(x),P_2(x),\dots \}$ è una sua base.

La dimostrazione di questo teorema è effettuata attraverso il metodo delle differenze finite.

L'insieme dei polinomi a valori interi è anche un anello, che è strettamente contenuto tra i due anelli dei polinomi $\mathbb{Z}[x]$ e $\mathbb{Q}[x]$ dei polinomi a coefficienti (rispettivamente) interi e razionali, ed è generalmente indicato come $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(\mathbb{Z})$. Dal punto di vista algebrico, questo anello è un dominio di Prüfer di dimensione 2; in particolare, non è noetheriano. I suoi ideali primi possono essere classificati attraverso i completamenti delle localizzazioni di $\mathbb{Z}$ rispetto ai suoi ideali primi.

Generalizzazioni

Il concetto di polinomio a valori interi può essere generalizzato a qualsiasi dominio d'integrità $D$: l'insieme $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$ dei polinomi a valori interi su $D$ è formato dai polinomi $P(x)$ a coefficienti nel campo dei quozienti $K$ di $D$ tali che $P(d)\in D$ per ogni $d\in D$. La struttura di $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$ come $D$-modulo e come anello è strettamente legata alle proprietà algebriche di $D$. Ad esempio, se $D$ è un dominio noetheriano, allora $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$ è un dominio di Prüfer se e solo se $D$ è un dominio di Dedekind i cui campi residui sono finiti. È anche possibile che $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$ coincida semplicemente con l'anello dei polinomi $D[x]$, come ad esempio nel caso in cui i campi residui di $D$ siano infiniti.

È inoltre possibile considerare non sono polinomi, ma più in generale funzioni razionali o funzioni intere a valori interi, così come è possibile considerare polinomi che hanno più di una indeterminata. Ad esempio, se $V$ è un dominio di valutazione discreta e $\pi$ è un elemento che genera il suo ideale massimale, allora

$P(x)=\frac{x}{\pi +x^2}$

è una funzione razionale che è a valori interi su $V$ (ovvero $f(t)\in V$ per ogni $t\in V$).

Infine, queste costruzioni possono essere considerate considerando polinomi (o funzioni razionali) che abbiano valori interi solo su un sottoinsieme $E\subseteq D$ o, ancora più in generale, su un insieme $E$ che è contenuto in un campo che contiene anche $D$; ovvero, è possibile considerare l'insieme

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(E,D)=\{P(x)\in K[x]\mid P(t)\in D\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{i}t\in E\}$,

dove $K$ è il campo dei quozienti di $D$. In questo caso, le proprietà di $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(E,D)$ dipendono sia dalle proprietà di $D$ che da quelle di $E$.

Bibliografia

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