Integrale di Darboux

In analisi matematica, l'integrale di Darboux è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

La definizione di integrale data da Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella data da Bernhard Riemann, tuttavia gli integrali definiti con il metodo di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann, in virtù dell'approccio più costruttivo della loro definizione.

Definizione

Si consideri una funzione continua $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione $𝒫=\{x_0,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n|x_0=a<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b\}$ in $n$ intervalli $[x_{k-1},x_k]\subset [a,b]$.

Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo). Da notare che la funzione rappresentata nel grafico è stata scelta positiva solo per comodità.

Per ogni intervallo della partizione si definiscono le due quantità:

${\lambda }_k:=\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\inf }f(x);{\mathrm{\Lambda }}_k:=\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\sup }f(x).$

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione $f(x)$ limitatamente all'intervallo $[x_{k-1},x_k]$. Tali valori esistono per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$, il numero reale:

$s(𝒫,f):=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k(x_k-x_{k-1}).$

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$, il numero reale:

$S(𝒫,f):=\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Lambda }}_k(x_k-x_{k-1}).$

Esiste un lemma che afferma che, data:

$m\le f(x)\le M,\mathrm{\forall }x\in [a,b],$

allora per ogni coppia di partizioni $𝒫,𝒬$ di $[a,b]$ si ha:

$m(b-a)\le s(𝒫)\le S(𝒬)\le M(b-a).$

Al variare di ogni partizione $𝒫$ di $[a,b],$ siano:

$\delta =\{s(𝒫){\}}_{𝒫};\mathrm{\Delta }=\{S(𝒫){\}}_{𝒫}.$

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $\delta$ e $\mathrm{\Delta }$ sono separati, cioè:

$s\le S,\mathrm{\forall }s\in \delta ,\mathrm{\forall }S\in \mathrm{\Delta }.$

L'assioma di Dedekind sulla completezza di $ℝ$ afferma allora che esiste almeno un numero reale $\xi \in ℝ$ tale che:

$s\le \xi \le S,\mathrm{\forall }s\in \delta ,\mathrm{\forall }S\in \mathrm{\Delta }.$

Se vi è un unico elemento di separazione $\xi$ tra $s$ e $S,$ allora si dice che $f(x)$ è integrabile in secondo Darboux o Darboux-integrabile $[a,b]$ e l'elemento $\xi$ si indica con:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Integrale multiplo di Darboux

Template:Vedi anche Sia $N\subset {ℝ}^n$ un dominio normale, $f:N\to {ℝ}^n$ limitata e $\mu$ una misura. Sia $𝒫=\{N_1,\dots ,N_k\}$ una partizione di $N$ in domini normali.

Si definisce somma inferiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$, il numero reale:

$s(𝒫,f):=\sum _{i=1}^k\mu (N_i)\inf \underset{x\in N_i}{f(x)}.$

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, di $f$ relativa alla partizione $𝒫$, il numero reale:

$S(𝒫,f):=\sum _{i=1}^k\mu (N_i)\sup \underset{x\in N_i}{f(x)}.$

In virtù di un lemma che riguarda i domani normali e le loro partizioni, si può concludere che:

$\sup \underset{𝒫}{(s(𝒫,f))}\le \inf \underset{𝒫}{(S(𝒫,f))}.$

Pertanto $f$ si dice Darboux-integrabile in $N$ se $\sup \underset{𝒫}{(s(𝒫,f))}=\inf \underset{𝒫}{(S(𝒫,f))}=\xi$ e in tal caso si pone che:

$\underset{N}{\int }f(x)d{x}_1\dots d{x}_n:=\xi .$

Proprietà degli integrali

Darboux-integrabilità e Riemann-integrabilità

In generale una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in ℝ$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\ge g(x)$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Teorema del confronto

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\le g(x)$ in $[a,b]$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.$

Integrabilità in un sotto intervallo

Sia $f:[a,b]\to ℝ$ integrabile e $\alpha ,\beta \in ℝ$ tale che $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b].$ Allora $f$ è integrabile in $[\alpha ,\beta ].$

Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in cui $a<b.$ Non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ossia nel caso $b<a;$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento.

Teorema della media integrale

Template:Vedi anche Se $f:[a,b]\to ℝ$ è continua allora esiste $c\in [a,b]$ tale che:

$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(c).$

Limitandosi ad integrali su intervalli di $ℝ$, sia dato un intervallo $[a,b]$, con $a\le b\in ℝ$.

Scrivendo $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_1-x_i-1$, se $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a,b]$ e $𝒫$ una partizione di $[a,b]$ si pone:

$\begin{array}{ccc}& M_i=\underset{x_i-1\le x\le x_i}{\sup }f(x),& m_i=\underset{x_i-1\le x\le x_i}{\inf }f(x);\\ & U(𝒫,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i,& L(𝒫,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i;\\ & \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx=\inf U(𝒫,f),& \underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx=\sup L(𝒫,f)\end{array}$

dove $\inf ,\sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a,b]$ , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ($f\in ℛ([a,b])$), e si definisce l'integrale di Riemann di $f$ su $[a,b]$ il valore comune dei due integrali:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f,dx=\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx.$

Dato che ogni funzione limitata esistono $m,M\in ℝ$ tali che $m\le f(x)\le M$ per ogni $x\in [a,b]$ si ha:

$m(b-a)\le L(𝒫,f)\le U(𝒫,f)\le M(b-a)$

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che $f\in ℛ([a,b])$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste una partizione $𝒫$ tale che $U(𝒫,f)-(𝒫,f)<\epsilon$. Se tale condizione è verificata, allora:

$|\sum _{i=1}^{n}f(t_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx|<\epsilon .$

Bibliografia

• Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, capitolo 8.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996, capitolo 8.

Voci correlate

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Henstock-Kurzweil
• Integrale improprio

Collegamenti esterni

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