Assioma di Dedekind

In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.

Se ad esempio l'insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme $\{x\in ℝ:x^2<2\}$), l'estremo superiore è $\sqrt{2}$. L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore.

Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.

Assioma di completezza e continuità della retta

Una formulazione alternativa dell'assioma di Dedekind, nota sotto il nome di assioma di completezza, è la seguente.

L'assioma di Dedekind (o di completezza) permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme R.

Completezza dei numeri reali

Usando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.

Dimostrazione

Sia $\{s_n\}$ una successione di Cauchy. Sia $S$ l'insieme dei numeri reali che sono maggiori di $s_n$ solo per un numero finito di valori di $n$. Poiché ogni successione di Cauchy è limitata, $S$ è non vuoto e superiormente limitato ed ammette quindi, per l'assioma di Dedekind, un estremo superiore $s$. Mostriamo che effettivamente la successione $s_n$ tende a $s$.

Per ogni $\epsilon$, esiste un $N$ tale che $|s_n-s_m|<\epsilon$ per ogni $n$, $m$ maggiore o uguale a $N$. Allora la successione assume infinite volte valori all'interno dell'intervallo $(s_N-\epsilon ,s_N+\epsilon )$ e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi $s_N-\epsilon$ è un elemento di $S$ e $s_N+\epsilon$ è maggiore di ogni elemento di $S$, e quindi è maggiore o uguale ad $s$.

Quindi $s$ è contenuto nell'intervallo $(s_N-\epsilon ,s_N+\epsilon )$, e per la disuguaglianza triangolare risulta che

$d(s_n,s)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,s)\le \epsilon +\epsilon =2\epsilon$.

Quindi $s_n\to s$ e la successione converge. Q.E.D.