Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.

Storia

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University. Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere $\mathbb{Z}$ o un suo sottoinsieme.

Definizione

Trasformata unilatera

Sia $x[n]$ una successione di numeri complessi, indicizzata con $n\in \mathbb{N}$. La sua trasformata unilatera è definita come la serie formale di potenze complesse

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n},\text{ per }z\in ℂ.$

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto. Solitamente, in tale ambito la successione $x[n]$ rappresenta il campionamento regolare di un segnale $f:ℝ\to ℂ$ causale (i.e. $f$ è nulla per tempi negativi), in corrispondenza dei tempi della forma $t=n\tau$. Il passo di campionamento $\tau >0$ è fissato. In altre parole

$x[n]=f(n\tau ),\text{ per ogni }n\in \mathbb{N}.$

Regione di convergenza

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

$ROC=\{z\in ℂ:|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}|<\mathrm{\infty }\}$

La serie converge per valori di $z$ in modulo maggiori del raggio di convergenza $R$, definito tramite il criterio della radice come:

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|x[n]|}$

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un $n$ arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta unilatera è una serie di potenze con esponente negativo.

Trasformata bilatera

Talvolta, può essere utile definire la trasformata di una successione $x[n]$ indicizzata su $n\in \mathbb{Z}$. In tal caso, la sua trasformata bilatera è definita come la serie formale di potenze

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

dove di nuovo $z$ è complesso.

Formula di inversione

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz,n\in \mathbb{N}.$

dove $C$ è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di $X(z)$ e circonda l'origine del piano. La formula precedente diventa particolarmente utile quando $X(z)$ ammette un'estensione a tutto il piano complesso, tranne al più un numero finito di singolarità isolate $z_1,\dots ,z_{\ell }$. Infatti, in tal caso si può fare appello al Teorema dei Residui ed ottenere

$x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(X(z)z^{n-1},z_j),\text{ per ogni }n\in \mathbb{N}$

Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate $z_1,\dots ,z_{\ell }$ siano dei poli, il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(X(z)z^{n-1},z_j)=\frac{1}{(m_j-1)!}\underset{z\to z_j}{\lim }\frac{d^{m_j-1}}{d{z}^{m_j-1}}(X(z)z^{n-1}(z-z_j{)}^{m_j})$

ove $m_j$ è l'ordine del polo $z_j$.

Un caso di particolare importanza si presenta quando $C$ è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

$x[n]=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

Proprietà

	Dominio del tempo	Dominio Z	Dimostrazione	ROC
Notazione	$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)=𝒵\{x[n]\}$		ROC: $r_2<|z|<r_1$
Linearità	$a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n]$	$a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)$	$\begin{array}{cc}X(z)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n])z^{-n}\\ & =a_1\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]z^{-n}\\ & +a_2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2[n]z^{-n}\\ & =a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)\end{array}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale	$x_{(k)}[n]=\{\begin{array}{cc}x[r],& n=rk\\ 0,& n=rk\end{array}$ $r$ intero	$X(z^k)$	$\begin{array}{cc}{X}_k(z)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_k[n]z^{-n}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[r]z^{-rk}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[r](z^k{)}^{-r}\\ & =X(z^k)\end{array}$	$r^{1/k}$
Traslazione temporale	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	$Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}$ Posto $j=n-k$ si ha: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}{z}^{-k}$ $=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}$ $=z^{-k}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}$ essendo $x[\beta ]=0$ se $\beta <0$. Da cui: $z^{-k}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)$	ROC, eccetto $z=0$ se $k>0$ e $z=\mathrm{\infty }$ se $k<0$
Segnali periodici	$x[n+m]=x[n]$	$X(z)=\frac{z^m}{z^m-1}\sum _{k=0}^{m-1}\frac{x[k]}{z^k}$
Scalatura nel dominio z	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	$\begin{array}{cc}Z\{a^{n}x[n]\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}x(n)z^{-n}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(a^{-1}z{)}^{-n}& \\ =X(a^{-1}z)& \end{array}$	$|a|r_2<|z|<|a|r_1$
Inversione temporale	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x(-n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(-n)z^{-n}& \\ =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m)z^m& \\ =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m){(z^{-1})}^{-m}& \\ =X(z^{-1})& \end{array}$	$\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2}$
Coniugazione complessa	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	$\begin{array}{cc}Z\{x^{*}(n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}(n)z^{-n}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[x(n)(z^{*}{)}^{-n}{]}^{*}& \\ =[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(z^{*}{)}^{-n}{]}^{*}& \\ =X^{*}(z^{*})& \end{array}$	ROC
Parte reale	$\mathrm{Re}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2}[X(z)+X^{*}(z^{*})]$		ROC
Parte immaginaria	$\mathrm{Im}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2j}[X(z)-X^{*}(z^{*})]$		ROC
Differenziazione	$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$	$\begin{array}{cc}Z\{nx(n)\}=& \\ \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n}& \\ =z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n-1}& \\ =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(-n{z}^{-n-1})& \\ =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})& \\ =-z\frac{dX(z)}{dz}& \end{array}$	ROC
Convoluzione	$x_1[n]*x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x_1(n)*x_2(n)\}=& \\ 𝒵\{\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)\}& \\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}& \\ =\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n-l)z^{-n}]& \\ =[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)z^{-l}][\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n)z^{-n}]& \\ =X_1(z)X_2(z)& \end{array}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione	$r_{x_1,x_2}=x_1^{*}[-n]*x_2[n]$	$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^{*}(1/z^{*})X_2(z)$		Almeno la regione di intersezione di ROC of $X_1(1/z^{*})$ e $X_2(z)$
Prima differenza	$x[n]-x[n-1]$	$(1-z^{-1})X(z)$		Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e $|z|>0$
Accumulazione	$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$	$\begin{array}{c}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\ =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x[n]+x[n-1]+\\ x[n-2]\cdots x[-\mathrm{\infty }])z^{-n}\\ =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\ =X[z]\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-j}\\ =X[z]\frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$
Moltiplicazione	$x_1[n]x_2[n]$	$\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v$		-
Teorema di Parseval	$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]x_2^{*}[n]$	$\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2^{*}(\frac{1}{v^{*}})v^{-1}\mathrm{d}v$

Teorema del valore iniziale e del valore finale

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

$x[0]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }X(z)$

se $x[n]$ è causale (ovvero nulla per n negativi).

Se la successione $x[n]$ ammette limite finito, allora $X(z)$ è una funzione analitica all'esterno del disco di raggio $1$ centrato nell'origine e il teorema del valore finale afferma che:

$x[\mathrm{\infty }]=\underset{ℝ\ni z\to 1^{+}}{\lim }(z-1)X(z)$

Il risultato è falso senza l'ipotesi che $x[n]$ ammetta limite, come si vede facilmente prendendo la successione $x[n]=(-1{)}^n$, la cui trasformata zeta è data da

$X(z)=\frac{z}{z+1}$

Trasformata di alcune funzioni notevoli

Siano:

• $u[n]=\{\begin{array}{cc}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$
• $\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

Funzione, $x[n]$	Trasformata Z, $X(z)$	ROC
$\delta [n]$	$1$	$\text{ogni }z$
$\delta [n-n_0]$	$z^{-n_0}$	$z\ne 0$
$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|>1$
$e^{-\alpha n}u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-\alpha }{z}^{-1}}$	$|z|>|e^{-\alpha }|$
$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|<1$
$nu[n]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|>1$
$-nu[-n-1]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|<1$
$n^{2}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|>1$
$-n^{2}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|<1$
$n^{3}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|>1$
$-n^{3}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|<1$
$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
$-a^{n}u[-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
$-n{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
$n^2{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|>|a|$
$-n^2{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|<|a|$
$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^2-z\cos ({\omega }_0)}{z^2-2z\cos ({\omega }_0)+1}$	$|z|>1$
$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z\sin ({\omega }_0)}{z^2-2z\cos ({\omega }_0)+1}$	$|z|>1$
$a^n\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^2-az\cos ({\omega }_0)}{z^2-2az\cos ({\omega }_0)+a^2}$	$|z|>|a|$
$a^n\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{az\sin ({\omega }_0)}{z^2-2az\cos ({\omega }_0)+a^2}$	$|z|>|a|$

Relazione con la trasformata di Laplace

Template:Vedi anche La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

$z\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{e}^{sT}$

dove $T=1/f_s$ è il periodo di campionamento, con $f_s$ la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$

un treno di impulsi e sia:

$\begin{array}{cc}{x}_q(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}x(t){\mathrm{\Delta }}_T(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-nT)\end{array}$

la rappresentazione tempo-continua del segnale $x[n]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}x(nT)$ ottenuto campionando $x(t)$. La trasformata di Laplace di $x_q(t)$ è data da:

$\begin{array}{cc}{X}_q(s)& =\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_q(t)e^{-st}dt\\ & =\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\delta (t-nT)e^{-st}dt\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t-nT)e^{-st}dt\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-nsT}\end{array}$

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta $x[n]$, ovvero:

$X(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

con la sostituzione $z\leftarrow e^{sT}$. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

$X_q(s)=X(z){|}_{z=e^{sT}}$

Relazione tra il piano s e il piano z

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

$z=e^{sT}=e^{T\sigma }{e}^{jT\omega }=e^{T\sigma }{e}^{jT(\omega +\frac{2k\pi }{T})}k\in ℝ$

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

• ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché $|z|=e^{T\sigma }$
• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
• ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra $\pm j{\omega }_s/2$, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.

Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a $\delta$ e $\omega$ costante.

Campionamento

Si consideri un segnale tempo-continuo $x(t)$, la cui trasformata è:

$L\{x(t)\}\equiv X(s)\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-st}dt$

Se $x(t)$ è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto $x^{*}[k]=x(kT)$ (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

$x^{*}[k]=x(kT)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t-kT)$

dove $T$ è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

$\begin{array}{ccccc}L\{x(kT)\}& =& X^{*}(s)& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}x(t).\delta (t-kT)e^{-st}dt\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}(k).z^{-k},z=e^{sT}\\ {L\{x(kT)\}|}_{s=\frac{\ln (z)}{T}}& =& {X^{*}(s)|}_{s=\frac{\ln (z)}{T}}& =& Z\{x^{*}(k)\}\end{array}$

Trasformata di Fourier a tempo discreto

Template:Vedi anche La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

$X(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

che si ottiene ponendo $z=e^{i\omega }$. Dal momento che $|e^{i\omega }|=1$, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Modello autoregressivo a media mobile

Template:Vedi anche Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]{\alpha }_p=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]{\beta }_q$

dove entrambi i membri possono essere divisi per ${\alpha }_0$, se è diversa da zero, normalizzando ${\alpha }_0=1$. In questo modo l'equazione assume la forma:

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]{\beta }_q-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]{\alpha }_p$

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale $y[n]$ è funzione del valore dell'uscita $y[n-p]$ a un tempo precedente, dell'ingresso attuale $x[n]$ e dei precedenti valori $x[n-q]$. Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

$Y(z)\sum _{p=0}^N{z}^{-p}{\alpha }_p=X(z)\sum _{q=0}^M{z}^{-q}{\beta }_q$

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum _{q=0}^M{z}^{-q}{\beta }_q}{\sum _{p=0}^N{z}^{-p}{\alpha }_p}=\frac{{\beta }_0+z^{-1}{\beta }_1+z^{-2}{\beta }_2+\cdots +z^{-M}{\beta }_M}{{\alpha }_0+z^{-1}{\alpha }_1+z^{-2}{\alpha }_2+\cdots +z^{-N}{\alpha }_N}$

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di $H$, e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di $H$. Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

$H(z)=\frac{(1-q_1{z}^{-1})(1-q_2{z}^{-1})\cdots (1-q_M{z}^{-1})}{(1-p_1{z}^{-1})(1-p_2{z}^{-1})\cdots (1-p_N{z}^{-1})}$

dove $q_k$ è il k-esimo zero e $p_k$ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da $H(z)$ è pilotato dal segnale $X(z)$ allora l'uscita è data da $Y(z)=H(z)X(z)$.

Bibliografia

• El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
• Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445–457 (1999). PDF

Voci correlate

• Analisi di Fourier
• Convoluzione
• Lemma di Riemann-Lebesgue
• Serie di Fourier
• Teorema di convoluzione
• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata inversa di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata integrale

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En J. H. Matthews e R. W. Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
• Template:Cita web