Teorema dei residui

Template:F In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato

Sia $\mathrm{\Omega }$ un insieme aperto del piano complesso $ℂ$. Siano $z_1,\dots ,z_n$ punti di singolarità della funzione $\omega =f(z)$ in $\mathrm{\Omega }$. Sia inoltre $\gamma$ una curva semplice chiusa in $\mathrm{\Omega }\setminus \{z_1,\dots ,z_n\}$ tale che $\{z_1,\dots ,z_n\}$ sia contenuto nel sottoinsieme limitato di $ℂ$ delimitato da $\gamma$.

Se $f(z)$ è una funzione olomorfa su $\mathrm{\Omega }\setminus \{z_1,\dots ,z_n\}$, allora l'integrale della funzione su $\gamma$ è dato dalla:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n{I}_{z_k}(\gamma ){\mathrm{Res}}_{z_k}(f),$

dove ${\mathrm{Res}}_{z_k}(f)$ denota il residuo di $f$ in $z_k$, e $I_{z_k}(\gamma )$ è l'indice di avvolgimento della curva $\gamma$ attorno a $z_k$.

L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva $\gamma$ si avvolge attorno ad $z_k$; esso è positivo se $\gamma$ gira in senso antiorario attorno a $z_k$ e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione

Si consideri il dominio all'interno della curva $\gamma$. Si considerino ${\gamma }_k$ multiplamente connesso, dove ${\gamma }_k$ sono le curve che circondano i punti di singolarità $z_k$ percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

${\oint }_{\gamma }f(\xi )d\xi =\sum _{k=1}^n{\oint }_{{\gamma }_k}f(\xi )d\xi ,$

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo $k$-esimo, per cui:

${\oint }_{\gamma }f(\xi )d\xi =2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{Res}}_{z_k}(f).$

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui

Nel caso in cui $\mathrm{\Omega }$ sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

$f:ℂ\setminus \{z_1,z_2,.....,z_k\}\to ℂ$

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti $z_1,\dots ,z_k,\mathrm{\infty }$ è sempre zero. In altre parole:

$\sum _{i=1}^k{\mathrm{Res}}_{z_i}f+{\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}f=0$

dove ${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}f(z)$ è il residuo all'infinito di $f$.

Lemmi

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Residuo (analisi complessa)
• Formula integrale di Cauchy
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Lemma di Jordan

Collegamenti esterni

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