Proiezione di Leray

La proiezione di Leray, che prende il nome da Jean Leray, è un operatore lineare usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, in particolare in fluidodinamica. Informalmente, può essere visto come la proiezione sulla componente solenoidale del campo vettoriale. È usata per eliminare il termine di pressione e il termine solenoidale dalle equazioni di Stokes e di Navier-Stokes.

Definizione

Tramite teoria degli operatori pseudo-differenziali

La proiezione di Leray $\mathbb{P}$ di un campo vettoriale $𝐮$ (in qualsiasi dimensione $n\ge 2$) è definita come

$\mathbb{P}(𝐮)=𝐮-\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Delta }}^{-1}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮).$

nel senso degli operatori pseudo-differenziali: il suo moltiplicatore di Fourier (a valori matriciali) $m(\xi )$ è dato da

$m(\xi {)}_{kj}={\delta }_{kj}-\frac{{\xi }_k{\xi }_j}{|\xi {|}^2},1\le k,j\le n.$

Qui $\delta$ è il delta di Kronecker. Formalmente, significa che per ogni $𝐮\in 𝒮({ℝ}^n{)}^n$ si ha

$\mathbb{P}(𝐮{)}_k(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }({\delta }_{kj}-\frac{{\xi }_k{\xi }_j}{|\xi {|}^2}){\widehat{𝐮}}_j(\xi )e^{i\xi \cdot x}\mathrm{d}\xi ,1\le k\le n$

dove $𝒮({ℝ}^n)$ è lo spazio di Schwartz e le somme sono espresse in notazione di Einstein.

Tramite decomposizione di Helmholz–Leray

Un campo vettoriale $𝐮$ può essere decomposto come

$𝐮=\mathrm{\nabla }q+𝐯,\text{with}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0.$

A differenza della decomposizione di Helholtz, la decomposizione di Helmholtz-Leray di $𝐮$ è unica (a meno di una costante additiva per $q$). Quindi $\mathbb{P}(𝐮)$ può essere definita come

$\mathbb{P}(𝐮)=𝐯.$

Proprietà

La proiezione di Leray soddisfa le seguenti proprietà notevoli:

1. È una proiezione: $\mathbb{P}[\mathbb{P}(𝐮)]=\mathbb{P}(𝐮)$ per ogni $𝐮\in 𝒮({ℝ}^n{)}^n$.
2. È un operatore solenoidale: $\mathrm{\nabla }\cdot [\mathbb{P}(𝐮)]=0$ per ogni $𝐮\in 𝒮({ℝ}^n{)}^n$.
3. È l'identità per i campi solenoidali: $\mathbb{P}(𝐮)=𝐮$ per ogni $𝐮\in 𝒮({ℝ}^n{)}^n$ tale che $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$.
4. Si annulla sui campi vettoriali relativi a un potenziale scalare: $\mathbb{P}(\mathrm{\nabla }\varphi )=0$ per ogni $\varphi \in 𝒮({ℝ}^n)$.

Applicatione alle equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili sono

$\frac{\partial 𝐮}{\partial t}-\nu \mathrm{\Delta }𝐮+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\mathrm{\nabla }p=𝐟$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

dove $𝐮$ è la velocità del fluido, $p$ la pressione, $\nu >0$ la viscosità e $𝐟$ la forza di volume esterna.

Applicando la proiezione di Leray alla prima equazione e usandone le proprietà, si ottiene

$\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\nu 𝕊(𝐮)+𝔹(𝐮,𝐮)=\mathbb{P}(𝐟)$

dove

$𝕊(𝐮)=-\mathbb{P}(\mathrm{\Delta }𝐮)$

è l'operatore di Stokes e la forma bilineare $𝔹$ è definita come

$𝔹(𝐮,𝐯)=\mathbb{P}[(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯].$

Per semplicità si può assumere in generale che $𝐟$ sia solenoidale, quindi $\mathbb{P}(𝐟)=𝐟$; questo può essere sempre imposto, aggiungendo alla pressione il termine $𝐟-\mathbb{P}(𝐟)$.

Bibliografia

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• Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier–Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)