Teorema di Helmholtz

In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione di questo risultato, laddove, invece che campi vettoriali in ${ℝ}^3$, si considerino forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto. Poiché ${ℝ}^3$ non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita all'infinito delle forme differenziali presenti.

Il teorema

Sia $𝐅$ un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio $V\subset {ℝ}^3$. Allora $𝐅$ può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale $\mathrm{\nabla }\phi$ e di un campo vettoriale solenoidale $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{A}$:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\phi +\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

dove $\mathrm{\nabla }$ è il gradiente, $\mathrm{\nabla }\times$ il rotore e:

$\phi (𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\cdot {\mathrm{d}𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }+\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\times {\mathrm{d}𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

sono detti potenziali. In particolare, $\phi$ è il potenziale scalare, $𝐀$ il potenziale vettore.

Nel caso in cui $V$ coincida con ${ℝ}^3$ e $𝐅$ si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:

$\phi (𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{{ℝ}^3}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }$

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

$𝐅(𝐫)=-\frac{1}{4\pi }\mathrm{\nabla }\left(\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }\right)+\frac{1}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \left(\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }\right)$

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate ${𝐫}^{\prime }$ all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate $𝐫$ all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate ${𝐫}^{\prime }$.

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale $𝐅$ definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ e $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$, e vale la condizione:

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝐅(𝐫)\left|𝐫\right|={𝐅}_{\mathrm{\infty }}\left|{𝐅}_{\mathrm{\infty }}\right|<\mathrm{\infty }$

allora $𝐅$ è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

$𝐅(𝐫)=-\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\left(\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)\mathrm{d}{V}^{\prime }+\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)\mathrm{d}{V}^{\prime }$

Formulazione debole

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che $\mathrm{\Omega }$ sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile $𝐮\in (L^2(\mathrm{\Omega }){)}^3$ possiede una decomposizione ortogonale:

$𝐮=\mathrm{\nabla }\phi +\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

dove $\phi$ appartiene allo spazio di Sobolev $H^1(\mathrm{\Omega })$ delle funzioni a quadrato sommabile su $\mathrm{\Omega }$ le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre $𝐀$ appartiene allo spazio di Sobolev $H(\mathrm{curl},\mathrm{\Omega })$ dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi $𝐮\in H(\mathrm{curl},\mathrm{\Omega })$ leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

$𝐮=\mathrm{\nabla }\phi +𝐯$

dove $\phi \in H^1(\mathrm{\Omega })$ e $𝐯\in (H^1(\mathrm{\Omega }){)}^d$.

Bibliografia

Titoli generali

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

Formulazione debole del teorema

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Campo vettoriale conservativo
• Campo vettoriale solenoidale
• Derivata parziale
• Divergenza
• Equazioni di Maxwell
• Funzione a quadrato sommabile
• Funzione differenziabile
• Funzione liscia
• Gradiente
• Quadripotenziale
• Rotore (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Teoria di Hodge

Collegamenti esterni

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