Operatore di Stokes

LTemplate:'operatore di Stokes, che prende il nome da George Gabriel Stokes, è un operatore lineare limitato usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, particolarmente in fluidodinamica ed elettromagnetismo.

Definizione

L'operatore di Stokes $A$ è definito come

$A:=-P_{\sigma }\mathrm{\Delta },$

dove $P_{\sigma }$ è la proiezione di Leray e $\mathrm{\Delta }\equiv {\mathrm{\nabla }}^2$ è il laplaciano. $A$ è definito su $𝒟(A)=H^2\cap V$, dove $V=\{\overrightarrow{u}\in (H_0^1(\mathrm{\Omega }){)}^n|\mathrm{div}\overrightarrow{u}=0\}$. $\mathrm{\Omega }$ è un insieme aperto limitato in ${ℝ}^n$, $H^2(\mathrm{\Omega })$ e $H_0^1(\mathrm{\Omega })$ sono spazi di Sobolev, e la divergenza di $\overrightarrow{u}$ è nel senso delle distribuzioni.

Proprietà

Per un dato dominio $\mathrm{\Omega }$ aperto, limitato e con contorno in $C^2$, l'operatore di Stokes $A$ è un operatore autoaggiunto definito positivo rispetto al prodotto interno di $L^2$. Ha una base ortonormale di autofunzioni $\{w_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ che corrispondono agli autovettori $\{{\lambda }_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ che soddisfa

$0<{\lambda }_1<{\lambda }_2\le {\lambda }_3\cdots \le {\lambda }_k\le \cdots$

con ${\lambda }_k\to \mathrm{\infty }$ per $k\to \mathrm{\infty }$. Il più piccolo degli autovettori è unico e non nullo. Queste proprietà permettono di definire le potenze dell'operatore di Stokes. Sia $\alpha >0$ un numero reale, allora $A^{\alpha }$ può essere definito tramite la sua azione su $\overrightarrow{u}\in 𝒟(A)$:

$A^{\alpha }\overrightarrow{u}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k^{\alpha }{u}_k\overrightarrow{w_k}$

dove $u_k:=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w_k})$ e $(\cdot ,\cdot )$ è il prodotto interno di $L^2(\mathrm{\Omega })$.

L'inverso $A^{-1}$ dell'operatore di Stokes è un operatore compatto e autoaggiunto nello spazio $H:=\{\overrightarrow{u}\in (L^2(\mathrm{\Omega }){)}^n|\mathrm{div}\overrightarrow{u}=0\text{ e }\gamma (\overrightarrow{u})=0\}$, dove $\gamma$ è l'operatore traccia. Inoltre, $A^{-1}:H\to V$ è iniettivo.

Bibliografia

• Template:Cita pubblicazione
• Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)