Teorema di disintegrazione

In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.

La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.

Enunciato

Sia $P(X)$ una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico $(X,d)$. Siano inoltre $Y$ e $X$ due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità $\mu \in P(Y)$, sia $\pi :Y\to X$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e $\nu \in P(X)$ la misura push-forward $\nu ={\pi }_{*}(\mu )=\mu \circ {\pi }^{-1}$.

Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità $\{{\mu }_x{\}}_{x\in X}\subseteq P(Y)$ tale che:

• la mappatura $x\mapsto {\mu }_x(B)$ è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme $B\subseteq Y$ misurabile rispetto alla relativa misura di Borel;
• ${\mu }_x$ assume valori non nulli sulla fibra ${\pi }^{-1}(x)$, ovvero per quasi tutti (rispetto a $\nu$) gli $x\in X$ si ha:

${\mu }_x(Y\setminus {\pi }^{-1}(x))=0$

e dunque:

${\mu }_x(E)={\mu }_x(E\cap {\pi }^{-1}(x))$

• per ogni funzione Borel-misurabile $f:Y\to [0,\mathrm{\infty }]$ si ha:

$\underset{Y}{\int }f(y)\mathrm{d}\mu (y)=\underset{X}{\int }\underset{{\pi }^{-1}(x)}{\int }f(y)\mathrm{d}{\mu }_x(y)\mathrm{d}\nu (x)$

In particolare, per ogni evento $E\subseteq Y$, assumendo che $f$ sia la funzione indicatrice di $E$ si ha:

$\mu (E)=\underset{X}{\int }{\mu }_x\left(E\right)\mathrm{d}\nu (x)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Insieme nullo (teoria della misura)
• Misura (matematica)
• Misura di Radon
• Misura prodotto
• Misura push-forward

Collegamenti esterni

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