Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Definizione

Siano $(X,𝔉,\mu )$ e $(Y,𝔊,\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f$ definita su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_x$ definita in $Y$ nel seguente modo:

$f_x(y)=f(x,y)$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_y$ tale che:

$f_y(x)=f(x,y)$

Entrambe le funzioni sono rispettivamente $𝔉$-misurabile e $𝔊$-misurabile.

Per ogni insieme aperto $V\in 𝔊\times 𝔉$ si definisce inoltre:

$Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}{Q}_x=\{y:f_x(y)\in V\}$

Si dimostra che se:

$\varphi (x)=\lambda (Q_x)\psi (y)=\mu (Q_y)\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }y\in Y$

allora $\varphi$ è $𝔉$-misurabile e $\psi$ è $𝔊$-misurabile, e si ha:

$\underset{X}{\int }\varphi d\mu =\underset{Y}{\int }\psi d\lambda$

Si definisce la misura $\mu \times \lambda$ prodotto delle due misure $\mu$ e $\lambda$ l'integrale:

$(\mu \times \lambda )(Q)=\underset{X}{\int }\lambda (Q_x)d\mu (x)=\underset{Y}{\int }\mu (Q_y)d\lambda (y)$

Tale misura è definita sullo spazio $(X\times Y,𝔊\times 𝔉)$ ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

$(\mu \times \lambda )(B_1\times B_2)=\mu (B_1)\lambda (B_2)\mathrm{\forall }{B}_1\in 𝔉,B_2\in 𝔊$

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia $(X,𝔉,\mu )$ che $(Y,𝔊,\lambda )$ sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo ${ℝ}^n$ può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale $ℝ$.

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Il Teorema di Fubini

Template:Vedi anche Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su $𝔊\times 𝔉$. Siano $(X,𝔉,\mu )$ e $(Y,𝔊,\lambda )$ due spazi di misura. Ad ogni funzione $f(x,y)$ che sia $𝔊\times 𝔉$-misurabile su $X\times Y$ e ad ogni $x\in X$ si può associare una funzione $f_x$ definita in $Y$ nel seguente modo:

$f_x(y)=f(x,y)$

Analogamente si definisce per ogni $y\in Y$ la funzione $f_y$ tale che:

$f_y(x)=f(x,y)$

Se la funzione $f$ è positiva e se:

$\varphi (x)=\underset{Y}{\int }{f}_{x}d\lambda \psi (y)=\underset{X}{\int }{f}_{y}d\mu$

allora $\varphi$ è $𝔉$-misurabile e $\psi$ è $𝔊$-misurabile, inoltre:

$\underset{X}{\int }\varphi d\mu =\underset{X\times Y}{\int }fd(\mu \times \lambda )=\underset{Y}{\int }\psi d\lambda$

In modo equivalente si può scrivere:

$\underset{X}{\int }d\mu (x)\underset{Y}{\int }f(x,y)d\lambda (y)=\underset{Y}{\int }d\lambda (y)\underset{X}{\int }f(x,y)d\mu (x)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Integrale di Lebesgue
• Misura (matematica)
• Teorema di disintegrazione
• Teorema di Fubini

Collegamenti esterni

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