Teorema di Kummer

In matematica, il teorema di Kummer per coefficienti binomiali fornisce la valutazione p-adica di un coefficiente binomiale, ovvero l'esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide questo coefficiente binomiale. Il teorema prende nome da Ernst Kummer, che lo dimostrò nel 1852.

Il teorema

Il teorema di Kummer afferma che per dati numeri interi $n\ge m\ge 0$ ed un numero primo $p$, la valutazione p-adica ${\nu }_p\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\right)$è pari al numero di riporti quando si addiziona $m$ ad $n-m$ in base-p.

Può essere dimostrato scrivendo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ come $\frac{n!}{m!(n-m)!}$ ed usando quindi l'identità di Legendre.

Generalizzazione a coefficienti multinomiali

Il teorema di Kummer può essere generalizzato a coefficienti multinomiali $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m_1,\dots ,m_k}):=\frac{n!}{m_1!\cdots m_k!}$come segue: scrivendo l'espansione in base-p di un numero intero $n$ come $n=n_0+n_{1}p+n_2{p}^2+\cdots +n_r{p}^r$ e indicando con $S_p(n)=n_0+n_1+\cdots +n_r$ la somma delle cifre dell'espansione in base-p, allora ${\nu }_p\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m_1,\dots ,m_k})\right)=\frac{1}{p-1}(\sum _{i=1}^k{S}_p(m_i)-S_p(n)).$

Bibliografia

• Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.
• Kummer's theorem at PlanetMath.org.

Voci correlate

• Teorema di Lucas