Valutazione p-adica

In teoria dei numeri, per un dato numero primo $p$, la valutazione p-adica di un intero $n$ diverso da zero è il maggiore esponente $v$ tale che $p^v$ divida $n$. La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come $v_p(n)$. Se $\frac{n}{d}$ è un numero razionale ai minimi termini, così che $n$ e $d$ siano primi tra loro, allora $v_p(\frac{n}{d})$ è uguale a $v_p(n)$ se $p$ divide $n$, oppure è uguale a $-v_p(d)$ se $p$ divide $d$, mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L'applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.

Definizione e proprietà

Numeri interi

Se $p$ appartiene a $\mathbb{Z}$, allora la valutazione p-adica per $\mathbb{Z}$ è definita come $v_p:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$

${\nu }_p(n)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{v\in \mathbb{N}:p^v\mid n\}& \text{se }n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{se }n=0\end{array}$

Numeri razionali

La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come $v_p:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}$

${\nu }_p\left(\frac{a}{b}\right)={\nu }_p(a)-{\nu }_p(b).$

Alcune proprietà sono:

$\begin{array}{cc}{\nu }_p(m\cdot n)& ={\nu }_p(m)+{\nu }_p(n).\\ [5px]{\nu }_p(m+n)& \ge \inf \{{\nu }_p(m),{\nu }_p(n)\}.\end{array}$

In aggiunta, se ${\nu }_p(m)\ne {\nu }_p(n),$allora

${\nu }_p(m+n)=\inf \{{\nu }_p(m),{\nu }_p(n)\}$

dove $\inf$ è l'infimo (il minore tra i due).

Il valore assoluto p-adico

Il valore assoluto p-adico su $\mathbb{Q}$ è definito come $|x{|}_p:\mathbb{Q}\to ℝ$

$|x{|}_p=\{\begin{array}{cc}{p}^{-{\nu }_p(x)}& \text{se }x\ne 0\\ 0& \text{se }x=0\end{array}$

Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà:

Non-negatività	$|a{|}_p\ge 0$
Definizione positiva	$|a{|}_p=0⟺a=0$
Moltiplicatività	$|ab{|}_p=|a{|}_p|b{|}_p$
Subadditività	$|a+b{|}_p\le |a{|}_p+|b{|}_p$
Ultrametricità	$|a+b{|}_p\le \max (|a{|}_p,|b{|}_p)$
Simmetria	$|-a{|}_p=|a{|}_p$

Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme $\mathbb{Q}$ con una metrica definita da $d:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to ℝ$

$d(x,y)=|x-y{|}_p.$

A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quanto non soddisfa il requisito di omogeneità.

Voci correlate

• Identità di Legendre-de Polignac
• Lifting the exponent lemma

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni