Coefficiente multinomiale

Template:F Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo $n,$ e un vettore intero non negativo $𝐤$ di norma uno ($\Vert 𝐤{\Vert }_1$) uguale a $n$, il coefficiente multinomiale è definito come

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{𝐤}):=\frac{n!}{\prod _{i=1}^r{k}_i!},$

ed è sempre un numero naturale.

( $\prod _{i=1}^r$ è il simbolo della produttoria).

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

$(x_1+\dots +x_r{)}^n=\sum _{k_1+\dots +k_r=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_r})\cdot \prod _{i=1}^r{x}_i^{k_i},$

ovvero

$(\sum _{i=1}^r{x}_i{)}^n=\sum _{k_1+\dots +k_r=n}n!\cdot \prod _{i=1}^r\frac{x_i^{k_i}}{k_i!},$

dove $\sum _{k_1+\dots +k_r=n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a $n$.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

$x^n=\sum _{k=n}n!\frac{{𝐱}^{𝐤}}{𝐤!},$

con le norme unitarie:

$k=\sum _{i=1}^r{k}_i={\Vert 𝐤\Vert }_1,$

$x=\sum _{i=1}^r{x}_i={\Vert 𝐱\Vert }_1,$

e:

${𝐱}^{𝐤}=(x_1^{k_1},x_2^{k_2},\dots ,x_r^{k_r})\in {ℝ}^r.$

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi $n$ oggetti in $r$ scatole, tali che $k_1$ oggetti stiano nella prima scatola, $k_2$ nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di $n$ oggetti, di cui $k_1$ uguali tra loro, $k_2$ uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi $k_i$ essere uguale a $1$, e avendosi così $\sum _{i=1}^r{k}_i=n$.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

$P(𝐱=𝐤)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{𝐤})\cdot \prod _{i=1}^r{p}_i^{k_i},$

una variabile casuale discreta.

Per $x_i$ = 1 si ha:

$r^n=\sum _{k_1+\dots +k_r=n}n!\cdot \prod _{i=1}^r\frac{1}{k_i!}$.

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{32}{10,10,10,2})=\frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}=2.753.294.408.504.640$

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

Collegamenti esterni

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