Identità di Legendre-de Polignac

In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide il fattoriale $n!,$ dove $n\ge 1$ è un intero.

L'identità

Per ogni $p$ numero primo e ogni $n$ intero positivo, con $v_p(n)$ indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide $n$ (la valutazione p-adica di $n$). Allora

${\upsilon }_p(n!)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^j}\rfloor ,$

dove $\lfloor x\rfloor$ rappresenta la parte intera di $x.$ Per ogni $j$ tale che $p^j>n$, si ha $\lfloor \frac{n}{p^j}\rfloor =0.$

A ciò segue la disuguaglianza

${\upsilon }_p(n!)\le \frac{n}{p-1}.$

Esempio

Per $n=6,$ si ha $6!=720=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1$. Gli esponenti ${\nu }_2(6!)=4,{\nu }_3(6!)=2$ e ${\nu }_5(6!)=1$ possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:

$\begin{array}{cc}{\nu }_2(6!)& =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{2^j}\rfloor =\lfloor \frac{6}{2}\rfloor +\lfloor \frac{6}{4}\rfloor =3+1,\\ {\nu }_3(6!)& =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{3^j}\rfloor =\lfloor \frac{6}{3}\rfloor =2,\\ {\nu }_5(6!)& =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{6}{5^j}\rfloor =\lfloor \frac{6}{5}\rfloor =1.\end{array}$

Dimostrazione

Essendo $n!$ il prodotto degli interi da $1$ a $n,$ otteniamo almeno un fattore di $p$ in $n!$ per ogni multiplo di $p$ in $\{1,2,\dots ,n\},$ che sono in numero pari a $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$. Ogni multiplo di $p^2$apporta un ulteriore fattore di $p,$ ogni multiplo di $p^3$ apporta ancora un altro fattore di $p,$ ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per $v_p(n!)$.

Forma alternativa

Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base $p$ di $n.$ Con $s_p(n)$ si denota la somma delle cifre dell'espansione in base $p$ di $n.$ Allora

${\nu }_p(n!)=\frac{n-s_p(n)}{p-1}.$

Esempio

Scrivendo $n=6$ in binario come $6_{10}=110_2,$ abbiamo che $s_2(6)=1+1+0=2$ e quindi

${\nu }_2(6!)=\frac{6-2}{2-1}=4.$

Similmente, scrivendo $n=6$ in ternario come $6_{10}=20_3,$ abbiamo che $s_3(6)=2+0=2$ e quindi

${\nu }_3(6!)=\frac{6-2}{3-1}=2.$

Dimostrazione

Scrivendo $n=n_{\ell }{p}^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_0$ in base $p$ si ottiene che $\lfloor \frac{n}{p^j}\rfloor =n_{\ell }{p}^{\ell -j}+\cdots +n_{j+1}p+n_j.$ Allora

$\begin{array}{cc}{\nu }_p(n!)& =\sum _{j=1}^{\ell }\lfloor \frac{n}{p^j}\rfloor \\ & =\sum _{j=1}^{\ell }(n_{\ell }{p}^{\ell -j}+\cdots +n_{j+1}p+n_j)\\ & =\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=j}^{\ell }{n}_i{p}^{i-j}\\ & =\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=1}^i{n}_i{p}^{i-j}\\ & =\sum _{i=1}^{\ell }{n}_i\cdot \frac{p^i-1}{p-1}\\ & =\sum _{i=0}^{\ell }{n}_i\cdot \frac{p^i-1}{p-1}\\ & =\frac{1}{p-1}\sum _{i=0}^{\ell }(n_i{p}^i-n_i)\\ & =\frac{1}{p-1}(n-s_p(n)).\end{array}$

Applicazioni

L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se $n$ è un intero positivo, allora $4$ divide $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$ se e solo se $n$ non è una potenza di $2.$

Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza $p^{-1/(p-1)}$.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
• Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
• Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Voci correlate

• Fattorizzazione
• Fattoriale
• Parte intera
• Valutazione p-adica
• Base-p