Spazio totalmente limitato

In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio.

Definizione

Uno spazio metrico $S$ si dice totalmente limitato se per ogni raggio $\epsilon >0$ esiste una collezione finita di palle $B_{\epsilon }^1,B_{\epsilon }^2,\dots ,B_{\epsilon }^n$ tali che:

$S\subseteq \bigcup _{i=1}^n{B}_{\epsilon }^i$

Spazi limitati e totalmente limitati

La nozione di spazio totalmente limitato è molto simile a quella di spazio limitato, ma è in realtà più forte: è infatti facile dimostrare che ogni spazio totalmente limitato è limitato. D'altro canto, esistono esempi di insiemi limitati che non sono totalmente limitati; ad esempio, considerando il piano ${ℝ}^2$ con la metrica discreta:

$\begin{array}{ccc}d:{ℝ}^2\times {ℝ}^2& \to & {ℝ}^{+}\\ (P_1,P_2)& \mapsto & \{\begin{array}{cc}0& (P_1=P_2)\\ 1& (P_1\ne P_2)\end{array}\end{array}$

si ha che per qualunque raggio $\epsilon <1$, occorrono infinite palle per ricoprire il piano, in quanto ogni punto dista 1 da tutti gli altri punti. Esistono tuttavia molti casi in cui le due nozioni coincidono, ad esempio uno spazio euclideo è totalmente limitato se e solo se è limitato.

Relazioni con gli spazi compatti

Template:Vedi anche Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Questa proprietà è una estensione del teorema di Heine-Borel, che caratterizza gli spazi euclidei compatti. È inoltre possibile dimostrare che uno spazio è totalmente limitato se e solo se lo è il suo completamento; sugli spazi euclidei questo equivale a dire che uno spazio è limitato se e solo se lo è la sua chiusura. Dalle due precedenti proprietà segue che uno spazio è totalmente limitato se e solo se il suo completamento è compatto: quest'ultima caratterizzazione può venire considerata come definizione di spazio totalmente limitato.

Estensioni a spazi topologici

La definizione sopra data può essere estesa anche a spazi non dotati di una distanza, ma di una più generica struttura di spazio topologico.

Un sottoinsieme $S\subseteq X$ di uno spazio vettoriale topologico o un gruppo abeliano topologico è detto totalmente limitato se, per ogni intorno $E$ dell'elemento neutro $0\in X$, esiste un ricoprimento finito formato da traslazioni di sottoinsiemi di $E$. Definire l'intorno $E$equivale a fissare la "dimensione" degli insiemi che formano il ricoprimento, "dimensione" che non è alterata traslando l'insieme stesso. In simboli si può scrivere:

$\mathrm{\forall }E\subseteq S:0\in E,\mathrm{\exists }{x}_1,x_2,\dots ,x_n\in X:S\subseteq \bigcup _{i=1}^n(E+x_i)$

Se $X$ non è abeliano, è possibile definire due nozioni separate di spazio totalmente limitato a sinistra o a destra, sostituendo nella definizione sopra $E+x_i$ rispettivamente con le traslazioni sinistre e destre $x_{i}E$ e $E{x}_i$.

Infine è possibile estendere la definizione per qualunque struttura che possieda la definizione di compattezza e completezza, usando la caratterizzazione definita nel paragrafo precedente e definendo pertanto gli spazi totalmente limitati come spazi il cui completamento è compatto. Se vale l'assioma della scelta, questa definizione è anche equivalente a quella di spazio precompatto.

Bibliografia

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Voci correlate

• Insieme limitato
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio compatto
• Spazio metrico
• Spazio vettoriale topologico
• Teorema di Heine-Borel