Teorema di Banach-Caccioppoli

In matematica, il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Il teorema

Template:Vedi anche Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione $f:X\to X$ tale che esiste una costante reale $0\le k<1$ che soddisfa la seguente condizione:

$d(f(x),f(y))\le kd(x,y),\mathrm{\forall }x,y\in X.$

Il più piccolo valore di $k$ per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di $f$.

Enunciato

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $T:X\to X$ una contrazione su $X$. Allora la mappa $T$ ammette uno e un solo punto fisso:

$x^{*}=T(x^{*}),x^{*}\in X.$

Dimostrazione

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

$x_1=T(x_0),x_2=T(x_1),\dots ,x_n=T(x_{n-1}).$

Sfruttiamo la metrica $d$ e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi $x_n,x_{n+1}$:

$d(x_n,x_{n+1})=d(T(x_{n-1}),T(x_n))\le kd(x_{n-1},x_n)=kd(T(x_{n-2}),T(x_{n-1}))\le k^{2}d(x_{n-2},x_{n-1})=k^{2}d(T(x_{n-3}),T(x_{n-2}))\le \dots \le k^{n}d(x_0,x_1).$

Prendiamo due numeri $m,n\in \mathbb{N}$ tali che $m\le n$: attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x_{n-1})+d(x_{n-1},x_m)\le \sum _{i=m}^{n-1}d(x_i,x_{i+1})\le d(x_0,x_1)\sum _{i=m}^{n-1}{k}^i=$

$=d(x_0,x_1)\sum _{i=0}^{n-m-1}{k}^{i+m}=k^{m}d(x_0,x_1)\sum _{i=0}^{n-m-1}{k}^i.$

Per $n\to \mathrm{\infty }$, l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra $0$ e $1$, quindi

$d(x_n,x_m)\le d(x_0,x_1)\frac{k^n}{1-k}\to 0\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}n\to \mathrm{\infty }$

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio $X$, la quale garantisce l'esistenza di

$x^{*}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n.$

Poiché la $T$ è un'applicazione continua, vale

$T(x^{*})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n+1}=x^{*}.$

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto $y*$ tale che $T(y^{*})=y^{*}$

$d(x^{*},y^{*})\le d(T(x^{*}),T(y^{*}))\le kd(x^{*},y^{*})\Rightarrow k\ge 1$

che contraddice le ipotesi di partenza.

Il valore minimo di $k$ è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ per $x$ e $y$ distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa $T:[1,+\mathrm{\infty })\to [1,+\mathrm{\infty })$ con $T(x)=x+1/x$, che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio $X$ è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire $X$ opportunamente in modo che $T$ porti elementi da $X$ a $X$, cioè che $T(x)$ sia sempre un elemento di $X$.

Corollario

Sotto le ipotesi su $X$ del teorema precedente, se $T:X\to X$ è una funzione tale che, per qualche $p$ numero naturale l'iterata $T^p$ è una contrazione, allora $T$ ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione

Supponiamo che $x$ sia punto fisso di $T^p$. Allora $T^p(x)=x$ da cui, applicando T da entrambi i lati, si ha $T(T^p(x))=T(x)$ e quindi $T^p(T(x))=T(x)$: anche $T(x)$ è punto fisso per $T^p$. Ma, per il teorema precedente, $T^p$ ha un unico punto fisso e quindi deve essere $T(x)=x$.

Applicazioni

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

Inversi

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia $f:X\to X$ una mappa di un insieme tale che ogni iterata $f_n$ ha un unico punto fisso. Sia $q$ un numero reale, $0<q<1$. Allora esiste una metrica completa su $X$ tale che $f$ sia una contrazione, e $q$ è la costante di contrazione.

Bibliografia

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Voci correlate

• Contrazione (spazio metrico)
• Funzione contrattiva
• Teorema di punto fisso
• Punto fisso
• Teorema del punto fisso di Brouwer

Collegamenti esterni

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