Funzione contrattiva

Template:F In matematica, una funzione contrattiva è una funzione tra spazi metrici che accorcia le distanze tra punti, ma in maniera più debole rispetto ad una contrazione.

Più precisamente, $f:X\to Y$ funzione tra spazi metrici si dice contrattiva se

$d_Y(f(x),f(y))<d_X(x,y)$

per ogni $x,y$ in $X$ tali che $x\ne y$ (se $x=y$ il secondo membro è nullo e dunque si otterrebbe $d_Y(f(x),f(x))=0<0=d_X(x,x)$, che è un assurdo).

Una funzione contrattiva è in particolare una funzione continua.

Ogni contrazione è anche una funzione contrattiva. Un esempio di funzione contrattiva che non è una contrazione è la funzione $f(x)=x(1-x)$ sullo spazio $X=[0,1]$ (dotato della metrica euclidea).

Teorema

Se $X$ è uno spazio metrico, $S$ un suo sottoinsieme compatto e $T:S\to S$ una funzione contrattiva, allora $T$ ammette uno e un solo punto fisso, cioè un $y$ in $S$ tale che $T(y)=y$.

Dimostrazione

Sia $\mathrm{\Phi }(x)=d(x,T(x))$. Proviamone la continuità: sia $(x_n{)}_n$ una successione in $S$ convergente ad un $z$. È

$\mathrm{\Phi }(x_n)=d(x_n,T(x_n))\le d(x_n,z)+d(z,T(z))+d(T(z),T(x_n))$, cioè $\mathrm{\Phi }(x_n)-\mathrm{\Phi }(z)\le d(x_n,z)+d(T(z),T(x_n))$.

Analogamente si giunge a

$\mathrm{\Phi }(z)-\mathrm{\Phi }(x_n)\le d(z,x_n)+d(T(x_n),T(z))$, dunque vale che

$|\mathrm{\Phi }(x_n)-\mathrm{\Phi }(z)|\le d(x_n,z)+d(T(z),T(x_n))$.

Ma il secondo membro è infinitesimo al divergere di $n$ per le ipotesi su $(x_n{)}_n$ e per la continuità di $T$, dunque $\mathrm{\Phi }(x_n)\to \mathrm{\Phi }(z)$, cioè $\mathrm{\Phi }$ è continua. Essendo definita su un compatto, $\mathrm{\Phi }$ ammette minimo in $y$. Supponendo per assurdo $y\ne T(y)$, abbiamo che

$\mathrm{\Phi }(T(y))=d(T(y),T^2(y))<d(y,T(y))=\mathrm{\Phi }(y)$, contraddicendo l'assunzione che $\mathrm{\Phi }$ raggiunga il suo minimo in $y$: dunque $y=T(y)$.

Per l'unicità, se $u\ne y$ è un altro punto fisso per $T$, allora

$d(u,y)=d(T(u),T(y))<d(u,y)$, che è impossibile.

Corollario

Se $X$ è uno spazio metrico, $S$ un suo sottoinsieme compatto e $T:S\to S$ è tale che l'iterata $T^p$ è contrattiva per qualche $p$ naturale, allora $T$ ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione

Per $T^p$ si può applicare il teorema precedente, dunque esiste un unico punto $x$ tale che $T^p(x)=x$. Applicando ora la $T$ a entrambi i membri otteniamo

$T\circ T^p(x)=T(x)$, cioè $T^p\circ T(x)=T(x)$.

Ma allora anche $T(x)$ è un punto fisso per $T^p$, dunque per l'unicità del punto fisso per $T^p$ abbiamo $T(x)=x$.