Regola della potenza

Template:F In analisi matematica, la regola della potenza è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione $h(x)=f(x{)}^{g(x)}$, dove $f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni derivabili.

Definizione

La derivata della funzione $h(x)$, detta anche funzione composta esponenziale, può essere vista come il prodotto della funzione originaria per la derivata del prodotto $g(x)\cdot \ln (f(x))$.

$D[h(x)]=h(x)\cdot D[g(x)\cdot \ln (f(x))]=f(x{)}^{g(x)}[g^{\prime }(x)\ln (f(x))+\frac{g(x)f^{\prime }(x)}{f(x)}]$

Le notazioni $D[f(x)]$ e $f^{\prime }(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

Dimostrazione

Si consideri l'identità iniziale $h(x)=f(x{)}^{g(x)}$. Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri si ottiene l'identità

$\ln (h(x))=\ln (f(x{)}^{g(x)})=g(x)\cdot \ln (f(x))$

e derivando il tutto si ha

$D[\ln (h(x))]=\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=D[g(x)\cdot \ln (f(x))]$.

Ne consegue che

$h^{\prime }(x)=h(x)\cdot D[g(x)\cdot \ln (f(x))]$

da cui segue la tesi. cvd.

Collegamenti esterni

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