Regola della funzione reciproca

Template:F In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.

Definizione

La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.

$D\left[\frac{1}{f(x)}\right]=\frac{-f^{\prime }(x)}{f(x{)}^2},$

dove $D[f(x)]$ e$f^{\prime }(x)$ sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale

Scrivendo il rapporto incrementale della funzione $\frac{1}{g(x)}$ otteniamo:

$D\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\cdot \frac{1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)}.$

Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di $g,$

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(x+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(-\frac{g(x+h)-g(x)}{h})=-g^{\prime }(x);$

mentre il secondo fattore, per la continuità della $g,$ "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:

$D\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-g^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)g(x)}=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo $f(x)=x^{-1}$ possiamo determinare la derivata come:

$D[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=-g(x{)}^{-2}\cdot g^{\prime }(x)=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Dimostrazione tramite la regola della catena

Posto $g(x)=\frac{1}{x}$, ricordiamo che $\frac{1}{f(x)}=(g\circ f)(x)$, e quindi

$D\left[\frac{1}{f(x)}\right]=D[(g\circ f)(x)].$

Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché $D\left[\frac{1}{x}\right]=-\frac{1}{x^2}$), otteniamo che

$D\left[\frac{1}{f(x)}\right]=-\frac{1}{f(x{)}^2}\cdot D[f(x)].$

Dimostrazione tramite la regola del quoziente

Applicando la regola del quoziente, consideriamo $f(x)=1$ e dunque

$D\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{D[1]\cdot g(x)-1\cdot g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=\frac{0\cdot g(x)-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente