Regola del prodotto

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di $k$ funzioni $f_i,$ con $i=1,\dots ,k,$ tutte derivabili:

$\frac{d}{dx}[\prod _{i=1}^k{f}_i(x)]=\sum _{i=1}^k(\frac{d}{dx}{f}_i(x)\prod _{j\ne i}{f}_j(x))=(\prod _{i=1}^k{f}_i(x))\left(\sum _{i=1}^k\frac{f{\text{'}}_i(x)}{f_i(x)}\right).$

Enunciato semplice

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in $x$ è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

$[g(x)f(x)]=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$

Dimostrazione

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili in $x$:

$[f(x)g(x){]}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}.$

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità $f(x+h)g(x)$:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}.$

Raccogliendo $f(x+h)$ e $g(x)$ si ottiene

$\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)\left[\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]+\underset{h\to 0}{\lim }g(x)\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right].$

Siccome le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono, per ipotesi, derivabili in $x$, quindi è qui anche continua sia $\underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)=f(x)$che $\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)=g(x)$. Si conclude che:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g^{\prime }(x),$

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x),$

e quindi:

$f(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g(x),$

come volevasi dimostrare.

La scoperta di Leibniz

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni di $x$. Allora il differenziale di $fg$ è

$d(fg)=(f+df)(g+dg)-fg=f(dg)+g(df)+(df)(dg).$

Siccome il termine $(df)(dg)$ è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

$d(fg)=f(dg)+g(df).$

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale $dx$, si ottiene

$\frac{d}{dx}(fg)=f\left(\frac{dg}{dx}\right)+g\left(\frac{df}{dx}\right)$

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

$(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+f^{\prime }g.$

Funzioni costanti

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione $f(x)$ per una costante $k$:

$D[kf(x)]=k\cdot f^{\prime }(x)+k^{\prime }\cdot f(x),$

ma $k^{\prime }=0$ essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

$D[kf(x)]=k{f}^{\prime }(x).$

Generalizzazioni

Prodotto multiplo

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di $n$ funzioni derivabili, $f_1,\dots ,f_k$ ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

$(f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x){)}^{\prime }={f_1}^{\prime }(x)f_2(x)\cdots f_n(x)+f_1(x)f_2^{\prime }(x)\cdots f_n(x)+\cdots +f_1(x)f_2(x)\cdots f_n^{\prime }(x),$

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni $f_j(x)$ prive di zeri:

$\frac{d}{dx}\prod _{i=1}^k{f}_i(x)=\sum _{j=1}^k\frac{f{\text{'}}_j(x)}{f_j(x)}\prod _{i=1}^k{f}_i(x).$

Applicazione polinomiale

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

$\frac{d}{dx}a{x}^n=na{x}^{n-1},$

per $n$ intero positivo: $x^n$ è una produttoria di $n$ funzioni uguali tutte uguali a $x$, per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di $n$ elementi tutti uguali tra loro:

$n\frac{x^{\prime }}{x}{x}^n=n{x}^{n-1}\cdot x^{\prime }.$

Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per $x^{\prime }$ e ricordando che $x=x^1$, possiamo scrivere:

$n{x}^{n-1}\cdot x^{\prime }=n{x}^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=n{x}^{n-1}\cdot x^0.$

Il risultato segue ricordando che $x^0=1.$

Derivate successive

Le derivate successive $n$-sime del prodotto di due funzioni sono:

$\frac{d^n}{{dx}^n}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x),$

dove $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ indica il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomiale

Proviamo a derivare due volte la funzione $x^3{e}^x$, usando il fatto che la derivata di $e^x$ è sempre uguale a sé stessa.

$\begin{array}{cc}{D}^{(2)}[x^3{e}^x]& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})6x{e}^x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})3x^2{e}^x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})x^3{e}^x\\ & =1\cdot 6x{e}^x+2\cdot 3x^2{e}^x+1\cdot x^3{e}^x\\ & =6x{e}^x+6x^2{e}^x+x^3{e}^x.\end{array}$

Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

$\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^a=\frac{a!}{(a-n)!}{x}^{a-n}.$

Voci correlate

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente
• Regola della somma

Collegamenti esterni

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