Radiazione di dipolo elettrico

Evoluzione in tempo reale del campo elettrico generato da un dipolo oscillante alla frequenza di circa 0.16 Hz (pulsazione: 1 radiante al secondo). Il rosso indica un'elevata intensità, mentre il verde e il blu indicano direzioni opposte del campo.

In fisica, la radiazione di dipolo elettrico è la radiazione elettromagnetica prodotta da un dipolo elettrico accelerato. Se oscillante è detto, solitamente, dipolo oscillante o antenna dipolare.

Lo studio del dipolo elettrico si basa sullo sviluppo in multipoli del potenziale elettrico generato da una distribuzione di carica e corrente oscillante nel tempo.

Espressione dei campi

La descrizione della radiazione prodotta dal dipolo è basata sull'espressione dei potenziali ritardati, che vengono definiti a partire dai potenziali scalare (o elettrico) e vettore validi nei casi stazionari, e che tengono conto del fatto che gli effetti dovuti a variazioni delle sorgenti si propagano nel campo non istantaneamente.

Il comportamento del dipolo oscillante è governato dalla seguente relazione:

$𝐩={𝐩}_0\sin (\omega t+\varphi )$

dove ${𝐩}_0$, il momento di dipolo massimo del dipolo oscillante, è diretto come l'asse z. Il potenziale vettore ritardato generato dal dipolo è fornito dall'integrale sulle variabili primate, con tau il volume del conduttore di cui è formato il dipolo:

$𝐀(𝐫,t)=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{𝐉(t-\frac{|𝐫-𝐫{}^{\prime }|}{c})}{|𝐫-𝐫{}^{\prime }|}\mathrm{d}{\tau }^{\prime }$

Il campo di maggiore interesse è quello lontano dal dipolo, e pertanto si trascura $𝐫{}^{\prime }$ rispetto a $𝐫$, che diventa una costante e viene estratto dall'integrale. Il risultato che si ottiene è:

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\dot{𝐩}(t-\frac{r}{c})}{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\omega {𝐩}_0}{r}\cos (\omega (t-\frac{r}{c}))$

Imponendo la validità del gauge di Lorenz si mostra il potenziale scalare $V$:

$\frac{\partial V}{\partial t}=-c^2\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=-\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{\ddot{p}}{cr}+\frac{\dot{p}}{r^2})\frac{z}{r}$

$V(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{\dot{p}}{cr}+\frac{p}{r^2})\frac{z}{r}$

I campi elettrico e magnetico generati dal dipolo si ottengono dal rotore di $𝐀$ e dal gradiente di $V$. In coordinate sferiche, essi prendono la forma:

$E_r=\frac{2\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}(\frac{\dot{p}}{c}+\frac{p}{r})B_r=0$

$E_{\theta }=\frac{\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_{0}r}(\frac{\ddot{p}}{c^2}+\frac{\dot{p}}{cr}+\frac{p}{r^2})B_{\theta }=0$

$E_{\varphi }=0B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\sin \theta }{r}(\frac{\ddot{p}}{c}+\frac{\dot{p}}{r})$

Da queste espressioni si vede come $𝐄$ e $𝐁$ siano punto per punto ortogonali. Le linee di forza di $𝐁$ sono circonferenze centrate intorno all'asse z, mentre $𝐄$ giace nel piano formato dal raggio vettore $𝐫$ e z.

Vettore di Poynting ed equazione di Larmor

Template:Vedi anche Per calcolare l'energia associata ai campi si utilizza il vettore di Poynting:

$𝐒=𝐄\times \frac{𝐁}{{\mu }_0}$

le cui componenti sono:

$S_r=\frac{{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3}{\left(\frac{\ddot{p}}{r}\right)}^2-\frac{1}{16{\pi }^2{\epsilon }_0}[2\frac{\ddot{p}\dot{p}}{c^{2}r}+\frac{\dot{p}p}{r^3}+\frac{(\ddot{p}p+{\dot{p}}^2)}{c{r}^2}]\frac{{\sin }^2\theta }{r^2}$

$S_{\theta }=\frac{1}{16{\pi }^2{\epsilon }_0}[\frac{\ddot{p}\dot{p}}{c^{2}r}+\frac{\dot{p}p}{r^3}+\frac{(\ddot{p}p+{\dot{p}}^2)}{c{r}^2}]\frac{2\sin \theta \cos \theta }{r^2}$

$S_{\varphi }=0$

Calcolando la media temporale della componente radiale su un periodo, i termini delle parentesi quadre si annullano e la media del vettore è:

$⟨𝐒⟩=\frac{{\sin }^2\theta }{32{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3}{\left(\frac{\ddot{p}}{r}\right)}^2\hat{r}$

I termini che si annullano nell'operazione di media non contribuiscono invece alla propagazione e sono detti termini di campo vicino. La potenza media irraggiata vale:

$⟨P⟩=\frac{{\omega }^4{p}_0^2}{2}\frac{{\mu }_0}{6\pi c}=\frac{{\mu }_0}{6\pi c}{\overline{\ddot{p}}}^2$

mentre la potenza totale emessa è data da:

$P=\frac{{\omega }^4|𝐩{|}^2}{12\pi {\epsilon }_0{c}^3}$

nota anche come equazione di Larmor.

Bibliografia

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Voci correlate

• Antenna a dipolo
• Dipolo elettrico
• Antenna a dipolo
  • Dipolo equivalente
  • Dipolo hertziano
• Equazione di Larmor
• Gauge di Lorenz
• Potenziali ritardati
• Sviluppo in multipoli
• Vettore di Poynting