Modello di dispersione esponenziale

Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a

$p(y|\theta ,\varphi )=\exp \{\frac{\theta y-b(\theta )}{a(\varphi )}+c(y,\varphi )\}$

in cui $y\in 𝒮\subseteq ℝ$, $\theta \in \mathrm{\Theta }\subseteq ℝ$, $\varphi >0$, $a(\varphi )>0$. Il parametro $\theta$ è detto "parametro naturale", mentre $\varphi$ è detto "parametro di dispersione". Spesso $a(\varphi )=\varphi$ oppure $a(\varphi )=\varphi /w$, con $w$ costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come Poisson, esponenziale e Bernoulli, $\varphi =1$, dunque sono parametrizzate solo da $\theta$.

Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte $𝐲\in {ℝ}^k$ multivariate, ovvero

$p(𝐲|\mathit{\theta },\varphi )=\exp \{\frac{{\mathit{\theta }}^T𝐲-b(\mathit{\theta })}{a(\varphi )}+c(𝐲,\varphi )\}$

in cui $\varphi$ è ancora una grandezza scalare.

La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle analisi di regressione e allo studio dei modelli lineari generalizzati.

Media, varianza e cumulanti di ordine superiore

Definendo la funzione generatrice dei cumulanti $K_Y(t|\theta ,\varphi )$ come il logaritmo della funzione generatrice dei momenti $M_Y(t|\theta ,\varphi )=𝔼[e^{tY}]$, si ottiene

$\begin{array}{c}{M}_Y(t|\theta ,\varphi )=𝔼[e^{tY}]=\underset{𝒮}{\int }{e}^{ty}p(y|\theta ,\varphi )dy=\exp \left\{\frac{b(\theta +t\cdot a(\varphi ))-b(\theta )}{a(\varphi )}\right\}\\ K_Y(t|\theta ,\varphi )=\log M_Y(t|\theta ,\varphi )=\frac{b(\theta +t\cdot a(\varphi ))-b(\theta )}{a(\varphi )}\end{array}$

da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine $r$ derivando $r$ volte $K_Y$ in $t=0$, risulta pertanto

${\kappa }_r(Y)={\frac{{\partial }^r{K}_Y(t|\theta ,\varphi )}{\partial t^r}|}_{t=0}=a(\varphi {)}^{r-1}{b}^{(r)}(\theta )$

dove $b^{(r)}$ denota la derivata $r$-esima di $b$, $r=1,2,3,\dots$ .

A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile $Y$:

$\begin{array}{c}𝔼[Y]={\kappa }_1(Y)=b^{\prime }(\theta )\\ \text{Var}(Y)={\kappa }_2(Y)=a(\varphi )b^{″}(\theta )\end{array}$

e poiché $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)>0$ e $a(\varphi )>0$ consegue che $b^{″}(\theta )>0$, vale a dire che $b(\theta )$ è una funzione convessa e $b^{\prime }(\theta )=\mu (\theta )=𝔼[Y]$ è una funzione strettamente crescente, con dominio $\mathrm{\Theta }$ e codominio lo spazio delle medie $ℳ$, dunque anche biiettiva, con inversa $\theta (\mu )$.

I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di asimmetria e curtosi.

Funzione di varianza

Si è visto $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)$ esprimibile come funzione di $\varphi$ e di $\theta$, ma poiché $\theta$ è in relazione biunivoca con $\mu$, è possibile scrivere

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=a(\varphi )b^{″}(\theta )=a(\varphi )v(\mu )$

in cui $v(\mu )$ viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad $a(\varphi )$, una precisa famiglia di dispersione esponenziale. Ad esempio solo 6 famiglie della classe DE hanno funzione di varianza al più quadratica ($v(\mu )=\alpha +\beta \mu +\gamma {\mu }^2$).

Parametrizzazione con media e funzione di varianza

Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media $\mu$ e varianza ${\sigma }^2=a(\varphi )v(\mu )$ e a tal fine introdurre una notazione compatta $Y\sim DE(\mu ,a(\varphi )v(\mu ))$, con $\mu \in ℳ,\varphi >0,a(\varphi )>0$.

Principali famiglie di dispersione esponenziale

La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale.

Distribuzioni continue		$𝒮$	$\theta$	$\mathrm{\Theta }$	$b(\theta )$	$\varphi$	$a(\varphi )$	$ℳ$	$v(\mu )$
Distribuzione normale	$𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$	$ℝ$	$\mu$	$ℝ$	${\theta }^2/2$	${\sigma }^2$	${\sigma }^2$	$ℝ$	$1$
Distribuzione gamma	$Ga(\alpha ,\frac{\alpha }{\mu })$	$[0,+\mathrm{\infty })$	$-1/\mu$	$(-\mathrm{\infty },0)$	$-\ln (-\theta ))$	$1/\alpha$	$1/\alpha$	$(0,+\mathrm{\infty })$	${\mu }^2$
Distribuzioni discrete
Distribuzione binomiale (riscalata)	$\frac{1}{m}Bi(m,\mu )$	$\{0,\frac{1}{m},\frac{2}{m},\dots ,1\}$	$\ln \left(\frac{\mu }{1-\mu }\right)$	$ℝ$	$\ln (1+\exp (\theta ))$	$1$	$1/m$	$(0,1)$	$\mu (1-\mu )$
Distribuzione di Poisson	$Po(\mu )$	$\mathbb{N}$	$\ln \mu$	$ℝ$	$\exp (\theta )$	$1$	$1$	$(0,+\mathrm{\infty })$	$\mu$
Distribuzione binomiale negativa (riscalata)	$\frac{1}{r}Bineg(r,\frac{1}{1+\mu })$	$\mathbb{N}$	$\ln \left(\frac{\mu }{1+\mu }\right)$	$(-\mathrm{\infty },0)$	$-\ln (1-\exp (\theta ))$	$1$	$1/r$	$(0,+\mathrm{\infty })$	$\mu (1+\mu )$

rientrano nella classe anche la distribuzione normale inversa e la distribuzione di Tweedie.