Matrice anti-hamiltoniana

In algebra lineare, le matrici anti-hamiltoniane sono speciali matrici che corrispondono a forme bilineari antisimmetriche su uno spazio vettoriale simplettico.

Definizione

Sia $e_1,\dots ,e_{2n}$ una base in $V,$ tale che $\mathrm{\Omega }$ si esprimibile come $\sum _i{e}_i\wedge e_{n+i}$. Quindi un operatore lineare è antihamiltoniano rispetto a $\mathrm{\Omega }$ se e solo se la sua matrice $A$ soddisfa $A^{T}J=JA$, dove $J$ è la matrice antisimmetrica

$J=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

e $I_n$ è la matrice identità di dimensioni $n\times n$. Tali matrici sono definite antihamiltoniane.

Operatore anti-hamiltoniano

Sia $V$ uno spazio vettoriale, di dimensione pari, fornito di forma simplettica $\mathrm{\Omega }$. Una funzione lineare $A:V\mapsto V$ è detta operatore antihamiltoniano rispetto a $\mathrm{\Omega }$ se la forma $(x,y)\mapsto \mathrm{\Omega }(A(x),y)$ è antisimmetrica.

Proprietà

• La radice di una matrice hamiltoniana è antihamiltoniana.
• Ogni matrice antihamiltoniana può essere ottenuta come la radice di una matrice hamiltoniana.