Spazio vettoriale simplettico

Template:S In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione

$\omega :V\times V\to ℝ$

tale che, per ogni $v,v^{\prime },w,w^{\prime }$ in $V$ e per ogni $\lambda ,\mu$ in $ℝ$

$\omega (\lambda v+\mu v^{\prime },w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v^{\prime },w)$

$\omega (v,\lambda w+\mu w^{\prime })=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w^{\prime })$

$\omega (v,v)=0$

$\omega (v,w)=0$ per ogni $w$ implica $v=0$

In altre parole, $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio $V$ munito della forma $\omega$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia $M$ la matrice di dimensione $m\times m$ , con $m=\dim V$,che rappresenta la forma bilineare $\omega$ in un qualche base, ovvero

$\omega (u,v)=u^{\text{T}}Mv\mathrm{\forall }u,v\in V$

Allora, dal momento che la forma $\omega$ è antisimmetrica anche $M$ lo sarà e dunque

$\det W=\det W^{\text{T}}=(-1{)}^m\det W$

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che $W$ è invertibile vale $\det M\ne 0$, e quindi dalla precedente espressione si evince che $m=2n$, e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.

Base simplettica canonica

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ di dimensione $2n$ la base $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n,{𝐟}_1,\dots ,{𝐟}_n\}$

tale che

$\omega ({𝐞}_i,{𝐞}_j)=0\omega ({𝐟}_i,{𝐟}_j)=0\omega ({𝐞}_i,{𝐟}_j)={\delta }_{ij}$

per ogni $i,j=1,\dots ,n$ è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene

$\omega (𝐮,𝐯)={𝐮}^{\text{T}}J𝐯$

dove $J$ è la matrice a blocchi data da

$J=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{𝟎}}_n& {𝐈}_n\\ -{𝐈}_n& {\mathrm{𝟎}}_n\end{array}\right]$

detta matrice unità simplettica.

Proprietà della matrice unità simplettica

La matrice $J$ soddisfa alcune proprietà, quali

• $J^2=-{𝐈}_{2n}$
• $J^{\text{T}}=J^{-1}=-J$
• $\det J=1$

Esistenza

Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.

Sottospazi

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ ed un suo sottospazio vettoriale $W$, possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di $W$ come

$W^{\perp }=\{𝐮\in V\text{ tali che }\omega (𝐮,𝐯)=0\mathrm{\forall }𝐯\in W\}$

Allora il sottospazio $W$ si dice

• Isotropo se $W\subset W^{\perp }$
• Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se $W=W^{\perp }$
• Coisotropo se $W\supset W^{\perp }$

Se $\dim V=2n$, allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra $0$ e $n-1$, quella degli spazi coisotropi tra $n+1$ e $2n$ e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente $n$.

La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani

$\omega (𝐮,𝐯)=0\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in W\text{ isotropo o lagrangiano}$

Esempio

Dato lo spazio vettoriale $V=\mathrm{span}\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐟}_1,{𝐟}_2\}$ dotato della forma simplettica standard, il sottospazio $W=\mathrm{span}\{{𝐞}_1,{𝐞}_1\}$ è lagrangiano.

Simplettomorfismi

Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici $(V_1,{\omega }_1)$ e $(V_2,{\omega }_2)$ è un isomorfismo lineare $\varphi :V_1\to V_2$ tale che ${\varphi }^{*}{\omega }_2={\omega }_1$.

In altre parole, questo significa che se vale

${\omega }_2(\varphi (𝐮),\varphi (𝐯))={\omega }_1(𝐮,𝐯)$

per ogni coppia di vettori $𝐮,𝐯\in V_1$, allora $\varphi$ è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.

Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ di dimensione $2n$, questo è simplettomorfo a $({ℝ}^{2n},{\omega }_0)$, dove ${\omega }_0$ è la forma simplettica standard.

Bibliografia

• Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X.
• Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate

• Matrice simplettica
• Gruppo simplettico
• Matrice anti-hamiltoniana

Collegamenti esterni

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