Radice quadrata di una matrice

In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata $A$ si intende ogni matrice quadrata $X$ tale che il suo quadrato sia $X\cdot X=A$. In generale, una matrice non possiede un'unica radice quadrata.

Procedimento numerico

Un procedimento per ottenere da una matrice $A$ una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata $A$ di dimensione $n$, e si voglia ottenere $A^{\frac{1}{2}}$. Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici $⟨Y_i,Z_i⟩$. Si definiscono:

$Y_0:=A\text{ e }{Z}_0:=I$

dove $I$ denota la matrice identità $n\times n$. Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

$Y_{k+1}:=(Y_k+Z_k^{-1})/2Z_{k+1}:=(Z_k+Y_k^{-1})/2$

Si trova che:

$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{Y}_k=A^{\frac{1}{2}}$

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere $A^{\frac{1}{2}}$ è il seguente: si costruisce la matrice $V$ le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data $A$. Si trova quindi la matrice $V^{-1}$ inversa di $V$, e si calcola:

$D:=V^{-1}AV$

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della $A$. Si rimpiazza ogni elemento diagonale della $D$ con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice $\sqrt{D}$, e si ottiene la matrice richiesta come:

$\sqrt{A}=V\sqrt{D}{V}^{-1}$

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

Soluzione esplicita per matrici 2×2

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice $A$ 2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

$x^2-\mathrm{t}\mathrm{r}(A)x+\det (A)$

cioè:

$A^2-\mathrm{t}\mathrm{r}(A)A+\det (A)I=0$

Indicando per brevità $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$ con $t$ e $\det (A)$ con $d$ si ha:

$A^2-tA+dI=0$

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e completando il quadrato si ottiene:

$A^2\pm 2\sqrt{d}A+dI=tA\pm 2\sqrt{d}A$

ovvero:

${(A\pm \sqrt{d}I)}^2=(t\pm 2\sqrt{d})A$

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

$\pm (A\pm \sqrt{d}I)=\sqrt{t\pm 2\sqrt{d}}\sqrt{A}$

da cui si ricava:

$\sqrt{A}=\pm \frac{A\pm \sqrt{d}I}{\sqrt{t\pm 2\sqrt{d}}}$

Si noti che il segno $\pm$ che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata $2\times 2$ è quindi $4$, e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

${\sqrt{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}_1=\frac{1}{\sqrt{a+d+2\sqrt{ad-bc}}}\left(\begin{array}{cc}a+\sqrt{ad-bc}& b\\ c& d+\sqrt{ad-bc}\end{array}\right)$

${\sqrt{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}_2=\frac{1}{\sqrt{a+d-2\sqrt{ad-bc}}}\left(\begin{array}{cc}a-\sqrt{ad-bc}& b\\ c& d-\sqrt{ad-bc}\end{array}\right)$

${\sqrt{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}_3=-\frac{1}{\sqrt{a+d+2\sqrt{ad-bc}}}\left(\begin{array}{cc}a+\sqrt{ad-bc}& b\\ c& d+\sqrt{ad-bc}\end{array}\right)$

${\sqrt{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}_4=-\frac{1}{\sqrt{a+d-2\sqrt{ad-bc}}}\left(\begin{array}{cc}a-\sqrt{ad-bc}& b\\ c& d-\sqrt{ad-bc}\end{array}\right)$

Bibliografia

• Template:Fr Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2, Springer, ISBN 3540353313
• Template:En Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenney, and Alan J. Laub, "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy Template:Webarchive", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22 (2001), no. 4, pp. 1112–1125.
• Template:En Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7
• Template:En Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521467136
• Template:En Rudin, Walter (1991), Functional analysis, International series in pure and applied mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070542368

Voci correlate

• Decomposizione di Cholesky
• Logaritmo di una matrice