Identità di Parseval

In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita. Deve il suo nome al francese Marc-Antoine Parseval.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx$

dove i coefficienti di Fourier $c_n$ di $f$ sono dati da:

$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x){\mathrm{e}}^{-inx}dx$

Più in generale, il risultato vale anche se $f$ è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L²[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per $f\in L^2(ℝ)$ si ha dunque:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx$

L'identità

Si consideri uno spazio normato separabile $H$, ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia $B=(e_n{)}_n$ una base ortonormale rispetto al prodotto interno $⟨,⟩$ definito in $H$. L'identità di Parseval afferma che per ogni $x\in H$:

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _n|⟨x,e_n⟩{|}^2$

dove il prodotto interno $⟨x,e_n⟩$ definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di $x$ rispetto alla base $B$.

Se $e_n$ è una base soltanto ortogonale:

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _n{\left|\frac{⟨x,e_n⟩}{⟨e_n,e_n⟩}\right|}^2\Vert e_n{\Vert }^2$

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se $H$ coincide con $L^2[-\pi ,\pi ]$ e $e_n=e^{-inx}$, dove $n\in \mathbb{Z}$, si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con $e_n$ che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato $x\in H$ garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a $x$ nella norma di $H$, e la validità dell'identità per tutti gli $x\in H$ garantisce che $e_n$ sia un sistema ortonormale completo. Se $H$ è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori $e_n$ implicano anche che:

$x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_n⟩e_n$

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani

L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano $H$. Se $B$ è un insieme ortonormale di $H$, detto totale nel senso che lo span lineare di $B$ è denso in $H$, allora:

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩=\sum _{e\in B}{|⟨x,e⟩|}^2$

Nel caso in cui $B$ non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza $\ge$ e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia

• Template:En E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Serie di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Pitagora
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM