Disuguaglianza di Bessel

In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento $x$ in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.

Sia $H$ uno spazio di Hilbert, e $e_1,e_2,\dots$ sia un sistema ortonormale in $H$. Allora, per qualsiasi $x$ in $H$ si ha che:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

dove $⟨,⟩$ denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert $H$. Se si definisce:

$x^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k$

la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge, infatti in questo caso si ottiene l'uguglianza dei termini e il vettore $x^{\prime }$ può essere descritto completamente nel sistema ortonormale.

Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre:

$x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k$

La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità:

$0\le \Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2$

che vale per qualsiasi $n$, escluso $n$ minore di $-1$.

Bibliografia

• Template:En K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5
• Template:En E.W. Cheney, Introduction to approximation theory , Chelsea, reprint (1982) pp. 203ff
• Template:En P.J. Davis, Interpolation and approximation , Dover, reprint (1975) pp. 108–126
• Template:En E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate

• Base ortonormale
• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
• Identità di Parseval
• Spazio di Hilbert
• Teorema di Riesz-Fischer

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM
• Template:EnDisuguaglianza di Bessel l'articolo sulla disuguaglianza di Bessel su MathWorld.