Spazio prehilbertiano

In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa.

Definizione

Uno spazio prehilbertiano è una coppia $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, dove $H$ è uno spazio vettoriale reale o complesso e $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ è un prodotto interno.

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo $𝔽$ (definito come $ℂ$ o $ℝ$) è una mappa:

$\varphi :V\times V\to 𝔽$

che associa ad ogni coppia di elementi $𝐯$ e $𝐰\in V$ lo scalare $\varphi (𝐯,𝐰)\in 𝔽$.

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per $a\in 𝔽$ e $𝐱,𝐲,𝐳,𝐰\in V$:

• linearità su una componente:

$\varphi (𝐱+𝐲,𝐳)=\varphi (𝐱,𝐳)+\varphi (𝐲,𝐳)$

$\varphi (a𝐱,𝐲)=a\varphi (𝐱,𝐲);$

• antilinearità sull'altra:

$\varphi (𝐱,𝐳+𝐰)=\varphi (𝐱,𝐳)+\varphi (𝐱,𝐰)$

$\varphi (𝐱,a𝐲)=\overline{a}\varphi (𝐱,𝐲);$

• simmetria coniugata:

$\varphi (𝐰,𝐳)=\overline{\varphi (𝐳,𝐰)};$

• definita positiva:

$\varphi (𝐳,𝐳)>0,𝐳\ne 0.$

In altre parole, per ogni $𝐳\in V$ fissato, le applicazioni

$𝐰\mapsto \varphi (𝐰,𝐳),𝐰\mapsto \varphi (𝐳,𝐰)$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ è inteso nel senso matematico e $⟨\cdot |\cdot ⟩$ nel senso fisico.

Bibliografia

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Voci correlate

• Spazio euclideo
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio completo
• Spazio di Hilbert

Collegamenti esterni

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