Gruppo unitario speciale

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado $n$ è il gruppo delle matrici unitarie $n\times n$ con determinante $1$ dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con $SU(n)$, è un sottogruppo del gruppo unitario $U(n)$, che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale $GL(n,ℂ)$.

Il caso più semplice, ovvero $SU(1)$, è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo $SU(2)$ è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da $SU(2)$ sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è $\{+I,-I\}$.

Proprietà

Il gruppo speciale unitario $SU(n)$ è un gruppo di Lie di dimensione $n^2-1$. Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di $SU(n)$ è isomorfo al gruppo ciclico Z_n. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per $n\ge 3$, è Z₂, mentre quello di $SU(2)$ è il gruppo banale.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie $𝔰𝔲(n)$ di $\mathrm{SU}(n)$ consiste di matrici anti-hermitiane $n\times n$ con traccia zero. Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione $n^2-1$.

Rappresentazione fondamentale

Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore $i$. Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori $T_a$ che sono matrici $n\times n$ complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

$T_a{T}_b=\frac{1}{2n}{\delta }_{ab}{I}_n+\frac{1}{2}\sum _{c=1}^{n^2-1}(i{f}_{abc}+d_{abc})T_c$

dove le $f$ sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti $d$ sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

$\begin{array}{cc}\{T_a,T_b\}& =\frac{1}{n}{\delta }_{ab}{I}_n+\sum _{c=1}^{n^2-1}{d}_{abc}{T}_c\\ [T_a,T_b]& =i\sum _{c=1}^{n^2-1}{f}_{abc}{T}_c.\end{array}$

Il fattore $i$ nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

$\sum _{c,e=1}^{n^2-1}{d}_{ace}{d}_{bce}=\frac{n^2-4}{n}{\delta }_{ab}$

I generatori $T_a$ soddisfano inoltre l'identità di Jacobi:

$[T_a,[T_b,T_c]]+[T_b,[T_c,T_a]]+[T_c,[T_a,T_b]]=0$

In fisica, si definiscono per convenzione i generatori come le matrici complesse hermitiane a traccia nulla con un fattore $1/2$ davanti: nel caso del gruppo $SU(2)$, si prendono come generatori le matrici $\frac{1}{2}{\sigma }_1,\frac{1}{2}{\sigma }_2,\frac{1}{2}{\sigma }_3$ dove ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ sono le matrici di Pauli, mentre per il gruppo $SU(3)$ si definiscono i generatori $T_a=\frac{1}{2}{\lambda }_a$ dove ${\lambda }_a$ sono le matrici di Gell-Mann. Con questa definizione, i generatori presentano la seguente normalizzazione:

$Tr(T_a{T}_b)=\frac{1}{2}{\delta }_{ab}$

Rappresentazione aggiunta

Nella rappresentazione aggiunta $(n^2-1)$-dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici $(n^2-1)\times (n^2-1)$, i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

${\left(T_a\right)}_{jk}=-i{f}_{ajk}.$

Struttura dell'algebra

La complessificazione dell'algebra di Lie $𝔰𝔲(n)$ è $𝔰𝔩(n;ℂ)$, lo spazio di tutte le matrici complesse $n\times n$ con traccia nulla. Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla, che si identifica con i vettori in ${ℂ}^n$ tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le $n(n-1)$ permutazioni di $(1,-1,0,\dots ,0)$.

Una scelta di radici semplici è data da:

$\begin{array}{cc}(& 1,-1,0,\dots ,0,0),\\ (& 0,1,-1,\dots ,0,0),\\ & ⋮\\ (& 0,0,0,\dots ,1,-1).\end{array}$

Pertanto $SU(n)$ ha rango $n-1$ e il suo diagramma di Dynkin è quello di $A_{n-1}$, cioè una catena lineare di $n-1$ nodi. La matrice di Cartan è

$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& \dots & 0\\ -1& 2& -1& \dots & 0\\ 0& -1& 2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 2\end{array}\right).$

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2)

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,

$\mathrm{SU}(2)=\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right):\alpha ,\beta \in ℂ,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1\},$

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Diffeomorfismo con la 3-sfera

Considerando $\alpha ,\beta$ come coppia in ${ℂ}^2$ dove $\alpha =a+bi$ e $\beta =c+di$, allora l'equazione $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ diventa

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$

che equivale all'equazione della 3-sfera S³. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

$\begin{array}{cc}\phi :{ℂ}^2& \to \mathrm{M}(2,ℂ)\\ \phi (\alpha ,\beta )& =\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right),\end{array}$

dove $\mathrm{M}(2,ℂ)$ indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando ${ℂ}^2$ diffeomorfo a ${ℝ}^4$ e $\mathrm{M}(2,ℂ)$ diffeomorfo a ${ℝ}^8$). Quindi, la restrizione di $\phi$ alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con $S^3$, è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di $\mathrm{M}(2,ℂ)$, nello specifico $\phi (S^3)=SU(2)$.

Pertanto, come varietà, $S^3$ è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che $S^3$ può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.

Isomorfismo con i quaternioni unitari

La matrice complessa

$\left(\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right)(a,b,c,d\in ℝ)$

può essere mappata a un quaternione come:

$a\hat{1}+b\hat{i}+c\hat{j}+d\hat{k}$

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.

Algebra di Lie

L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici $2\times 2$ antihermitiane a traccia nulla. Esplicitamente, ciò significa che

$𝔰𝔲(2)=\{\left(\begin{array}{cc}ia& -\bar{z}\\ z& -ia\end{array}\right):a\in ℝ,z\in ℂ\}.$

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

$u_1=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),u_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),u_3=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule $u_1=i{\sigma }_1,u_2=-i{\sigma }_2$ e $u_3=+i{\sigma }_3.$

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni $u_2{u}_3=-u_3{u}_2=u_1,$ $u_3{u}_1=-u_1{u}_3=u_2,$ e $u_1{u}_2=-u_2{u}_1=u_3$, il commutatore è quindi specificato da

$[u_3,u_1]=2u_2,[u_1,u_2]=2u_3,[u_2,u_3]=2u_1.$

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

Il gruppo SU(3)

Gruppo di Lie

$SU(3)$ è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso. La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.

Algebra di Lie

I generatori $T$, dell'algebra di Lie $𝔰𝔲(3)$ del gruppo $SU(3)$ nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2},$

dove $\lambda$ indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

$\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1=& \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_2=& \left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_3=& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\\ {\lambda }_4=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),& {\lambda }_5=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right),\\ {\lambda }_6=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),& {\lambda }_7=& \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right),& {\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).\end{array}$

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste ${\lambda }_a$ coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla $H$. Si osservi che ${\lambda }_2$, ${\lambda }_5$ e ${\lambda }_7$ sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

$\begin{array}{cc}[T_a,T_b]& =i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c,\\ \{T_a,T_b\}& =\frac{1}{3}{\delta }_{ab}{I}_3+\sum _{c=1}^8{d}_{abc}{T}_c,\end{array}$

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

$\{{\lambda }_a,{\lambda }_b\}=\frac{4}{3}{\delta }_{ab}{I}_3+2\sum _{c=1}^8{d}_{abc}{\lambda }_c$.

I coefficienti $f$ sono le costanti di struttura, determinate da

$\begin{array}{cc}{f}_{123}& =1,\\ f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}& =\frac{1}{2},\\ f_{458}=f_{678}& =\frac{\sqrt{3}}{2},\end{array}$

mentre tutte le altre $f_{abc}$ che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di Template:Frac di tutte le $f_{abc}$ sono non nulle.

I coefficienti simmetrici $d$ assumono i valori:

$\begin{array}{cc}{d}_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}& =\frac{1}{\sqrt{3}}\\ d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}& =-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\ d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}& =\frac{1}{2}.\end{array}$

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla $H$, con la normalizzazione $\mathrm{tr}(H^2)=2$, può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in $H$:

$\begin{array}{cc}\exp (i\theta H)=& [-\frac{1}{3}I\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi )-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi ))}{\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi +\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi -\frac{2\pi }{3})}\\ & +[-\frac{1}{3}I\sin (\phi )\sin (\phi +\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{2\sqrt{3}}H\sin (\phi -\frac{2\pi }{3})-\frac{1}{4}{H}^2]\frac{\exp (\frac{2}{\sqrt{3}}i\theta \sin (\phi -\frac{2\pi }{3}))}{\cos (\phi )\cos (\phi +\frac{2\pi }{3})}\end{array}$

dove

$\phi \equiv \frac{1}{3}[\arccos (\frac{3\sqrt{3}}{2}\det H)-\frac{\pi }{2}].$

Bibliografia

• Template:Cita libro

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni