Matrici di Gell-Mann

Le matrici di Gell-Mann, così chiamate in onore del premio Nobel statunitense per la fisica Murray Gell-Mann, sono un insieme di matrici 3×3 complesse hermitiane. Sono i generatori infinitesimali di SU(3).

In concreto, le matrici possono essere scritte come:

${\lambda }_1:=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\lambda }_2:=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\lambda }_3:=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\lambda }_4:=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),$

${\lambda }_5:=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right),{\lambda }_6:=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),{\lambda }_7:=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right),{\lambda }_8:=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$

Simili alle matrici di Pauli, ovvero quelle costituenti i generatori di SU(2), le matrici di Gell-Mann sono a traccia nulla ed hermitiane. Nella fisica delle particelle elementari esse descrivono il cambiamento di colore, così come le matrici di Pauli descrivono spin e isospin.

Come le matrici di Pauli, le matrici di Gell-Mann soddisfano alcune importanti relazioni di commutazione. Queste sono:

$[{\lambda }_i,{\lambda }_j]=i{𝒦}_{ijk}{\lambda }_k$

dove gli elementi del tensore K di rango 3 sono

${𝒦}_{123}=2;{𝒦}_{147}=1;{𝒦}_{156}=-1;{𝒦}_{246}=1;{𝒦}_{257}=1;$

${𝒦}_{345}=1;{𝒦}_{367}=-1;{𝒦}_{458}=\sqrt{3};{𝒦}_{678}=\sqrt{3}.$

e tutti gli elementi le cui terne di indici non sono permutazioni delle terne precedenti sono uguali a zero. Sommando le componenti di K sul terzo indice si ottiene una matrice totalmente antisimmetrica.

Bibliografia

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Voci correlate

• Glossario sulle matrici
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