3-sfera

Proiezione stereografica degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e ipermeridiani (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.

La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l'analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.

La 3-sfera è chiamata spesso ipersfera, anche se con lo stesso termine si indicano tutte le n-sfere con n ≥ 3.

Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie (varietà) bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale.

Definizione

In termini di coordinate, una 3-sfera centrata in C (C₀, C₁, C₂, C₃) ed avente raggio r è l'insieme dei punti x (x₀, x₁, x₂, x₃) nello spazio R⁴ tali che

$\sum _{i=0}^3(x_i-C_i{)}^2=(x_0-C_0{)}^2+(x_1-C_1{)}^2+(x_2-C_2{)}^2+(x_3-C_3{)}^2=r^2.$

Si chiama 3-sfera unitaria o S³ quella con centro nell'origine e raggio unitario:

$S^3=\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^4:x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}.$

Se si considera R⁴ come lo spazio a due coordinate complesse (C²), o quaternione (H), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione

$S^3=\{(z_1,z_2)\in {ℂ}^2:|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1\}$

oppure da

$S^3=\{q\in ℍ:|q|=1\}.$

L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità.

Proprietà

Proprietà elementari

Il volume 3-dimensionale (o iperarea) della 3-sfera di raggio r è pari a

$2{\pi }^2{r}^3$

mentre l'ipervolume (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{\pi }^2{r}^4.$

Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un iperpiano tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza).

Proprietà topologiche

Template:S sezione Una 3-sfera è una varietà 3-dimensionale compatta, connessa e senza bordo. Inoltre è un insieme semplicemente connesso: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3-sfera. Secondo la congettura di Poincaré, dimostrata nel 2002 da Grigorij Perel'man, la 3-sfera (a meno di omeomorfismo) è l'unica figura con queste proprietà.

Nella letteratura

In un articolo pubblicato sull'American Journal of Physics, Mark A. Peterson suggerisce che la cosmologia dantesca sia modellata secondo una 3-sfera; anche Carlo Rovelli ha espresso la stessa opinione.

Voci correlate

• Ipersfera
• Ipercubo

Collegamenti esterni

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