Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione

Estensione

Sia $E$ una estensione di un campo $F$. Un $F$-automorfismo di $E$ è un automorfismo

$\psi :E\to E,$

che fissa gli elementi di $F$, cioè tale che

$\psi (x)=x,$

per ogni $x$ in $F$. Gli $F$-automorfismi di $E$ formano un gruppo

$G=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(E/F).$

Se $E/F$ è un'estensione di Galois allora il gruppo degli $F$-automorfismi di $E$ è detto gruppo di Galois ed è indicato con

$G=\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(E/F).$

Polinomi

Se $p(x)$ è un polinomio separabile a coefficienti in un campo $F$, il gruppo di Galois di $p$ è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento $E$ di $p$ su $F$.

Esempi

Negli esempi seguenti $ℂ$, $ℝ$, $\mathbb{Q}$, sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione $F(a)$ indica il più piccolo campo contenente $F$ e $a$.

Campi razionali, reali, complessi

• $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(ℂ/ℝ)$ ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
• $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(ℝ/\mathbb{Q})$ è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di $ℝ$ è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di $\mathbb{Q}$ e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di $ℝ$). Da ciò segue che l'estensione $ℝ$ su $\mathbb{Q}$ non è di Galois.
• $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(ℂ/\mathbb{Q})$ è un gruppo infinito.

Campi finiti

Se $F$ è un campo finito con caratteristica $p>0$, ovvero di ordine $p^n$ per qualche naturale $n$, lo si può vedere come estensione di ${𝔽}_p$ (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

• $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(F/{𝔽}_p)=C_n=⟨f⟩$

ovvero il gruppo ciclico di ordine $n$, con $f$ endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di $F_p$ pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè $n$ (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento $f$ è esattamente $n$, pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi

• $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})$ ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia $\sqrt{2}$ con $-\sqrt{2}$.
• Sia $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},{\zeta }_3)$, dove ${\zeta }_3$ è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/\mathbb{Q})$ è isomorfo al gruppo $S_3$ delle permutazioni di tre elementi. Il campo $L$ è il campo di spezzamento del polinomio $x^3-2$ su $\mathbb{Q}$.

Voci correlate

• Campo di spezzamento
• Estensione di campi
• Teoria di Galois
• Programma Langlands

Collegamenti esterni

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