Polinomio separabile

Template:F Un polinomio $f(x)$ a coefficienti in un campo $K$ si dice separabile se le sue radici sono distinte in una chiusura algebrica di $K$, ovvero il numero di radici distinte è uguale al grado del polinomio. Una definizione simile è quella di polinomio privo di quadrati (detto talvolta polinomio square-free): in particolare, nel caso in cui il campo $K$ sia perfetto, i due concetti coincidono. In generale, $f(x)$ è separabile se e solo se è privo di quadrati in ogni campo contenente $K$, e ciò vale se e solo se $f(x)$ è coprimo con la sua derivata formale $Df(x)$.

Si prova che tutti i polinomi irriducibili $f(x)\in K[x]$ che hanno uno zero in un'estensione separabile di K sono separabili. Di conseguenza sono separabili tutti i polinomi a coefficienti su campi perfetti, e dunque i polinomi su campi di caratteristica 0 o su campi finiti.

Per quanto detto, è chiaro che ogni polinomio del tipo $f(x)=x^n-1\in \mathbb{Q}[x]$ è separabile, ma è immediato verificare direttamente che$x^n-1$ e $f{}^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ sono coprimi e dunque che $f$ è separabile su $\mathbb{Q}$ nel senso più forte. Si osservi tuttavia che questo procedimento non si può fare per polinomi del tipo $f(x)=x^p-y^p\in F_p(y^p)[x]$, ove $F_p(y^p)$ è il campo finito con p elementi a cui si è aggiunta la potenza p-esima di un elemento y trascendente su $F_p$. Si ha infatti che $f{}^{\prime }(x)=0$ e dunque il massimo comun divisore tra f' e f è f stesso e quindi, dato che non è difficile provare che f è irriducibile, si ha che f non è separabile per nessuna delle due definizioni.

In generale, si prova che i polinomi irriducibili non separabili su un campo di caratteristica p sono esattamente i polinomi irriducibili che si possono scrivere come $f(x)=g(x^p)$ per un qualche polinomio g(x).

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