Campo di spezzamento

In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio $p(x)$, definito su un campo $K$, è la più piccola estensione di $K$ che contiene tutte le radici di $p(x)$.

Definizione

Sia $K$ un campo e $p(x)$ un polinomio a coefficienti in $K$. Se $p(x)$ è costante, un suo campo di spezzamento è $K$. Sia ora $p(x)$ non costante di grado $n$. Un'estensione $L$ di $K$ è un campo di spezzamento di $p(x)$ se:

• esistono ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in L$ (non necessariamente distinti) ed $u\in K\setminus \{0\}$ tali che

$p(x)=u(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_n)$;

• l'estensione generata da ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ su $K$ è uguale ad $L$.

La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se $L_1$ è un'estensione intermedia tra $K$ ed $L$ (ossia se $K\subseteq L_1⊊L$), allora esiste $i\in \{1,\dots ,n\}$ tale che ${\alpha }_i\notin L_1$; in questo senso, $L$ è la più piccola estensione di $K$ contenente tutte le radici (non necessariamente distinte) ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ di $p(x)$.

Costruzione

Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti in $K$, è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.

Supponiamo infatti che $p(x)$ si fattorizzi in $K[x]$ come $f_1(x)\cdots f_n(x)$. Allora, l'anello quoziente $K_1[x]:=K[x]/(f_1(x))$ è un campo (poiché $(f_1(x))$ è un ideale massimale) che contiene $K$ e una radice di $f_1(x)$. La fattorizzazione di $p(x)$ in $K_1[x]$ comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di $f_1(x)$).

Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori $f_2(x),\dots ,f_n(x)$) e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$.

Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di $K$.

Unicità

Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.

Se $F$ è un campo algebricamente chiuso contenente $K$ (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di $p(x)$ contenuto in $F$. Gli automorfismi di questo campo di spezzamento formano un gruppo che, se $p(x)$ è separabile su $K$, è detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di $p(x)$ può essere costruito.

I sottocampi di $F$ che sono campi di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in $K$ sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di $K$.

Se $p(x)$ è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo $K(\alpha )$, dove $\alpha$ è una qualsiasi radice di $p(x)$.

Esempi

• Sia $K=\mathbb{Q}$ il campo dei numeri razionali e $p(x)=x^3-2$. Il campo di spezzamento di $p(x)$ contenuto nel campo dei numeri complessi $ℂ$ (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su $\mathbb{Q}$) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità.
• Il campo di spezzamento di $x^2+1$ sul campo $ℝ$ dei numeri reali è tutto $ℂ$.
• Il campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ sul campo ${\mathbb{Z}}_p$ delle classi di resto modulo $p$ (dove $p$ è un numero primo) è un campo finito di ordine $p^n$. In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se $q$ è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità $q$.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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