Formula di Jacobi

In matematica, la formula di Jacobi, che prende il nome dal matematico C. G. J. Jacobi, esprime la derivata del determinante di una matrice $A$ attraverso la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) di $A$ e della derivata di $A$ stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una funzione polinomiale:

$\det :{ℝ}^{n\times n}\to ℝ$

quindi essa è differenziabile e il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

$d\det (A)=\mathrm{tr}({\mathrm{cof}}^T(A)dA)$

dove ${\mathrm{cof}}^T(A)$ denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche matrice aggiunta e denotata come $\mathrm{adj}(A)$), mentre $\mathrm{tr}$ è la traccia.

Dunque la derivata rispetto a $t$ del determinante si scrive:

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A(t))\frac{dA(t)}{dt})$

Dimostrazione

L'espansione di Laplace per il determinante di una matrice $A$ può essere scritta come:

$\det (A)=\sum _j{A}_{ij}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}$

dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna $i$ della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione $F$ degli elementi della matrice:

$\det (A)=F(A_{11},A_{12},\dots ,A_{21},A_{22},\dots ,A_{nn})$

in modo che utilizzando la regola della catena si vede che il suo differenziale è:

$d\det (A)=\sum _i\sum _j\frac{\partial F}{\partial A_{ij}}d{A}_{ij}$

con la somma che interessa tutti gli $n\times n$ elementi della matrice.

Per calcolare $\partial F/\partial A_{ij}$ si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice $i$ nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di $\partial /\partial A_{ij}$:

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\frac{\partial \sum _k{A}_{ik}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial (A_{ik}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik})}{\partial A_{ij}}$

così che con la regola del prodotto:

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}+\sum _k{A}_{ik}\frac{\partial {\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}$

Se un elemento di $A_{ij}$ e un cofattore ${\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}$ di un elemento di $A_{ik}$ sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di $A_{ij}$ dato che il cofattore di $A_{ik}$ è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque la derivata si annulla:

$\frac{\partial {\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=0$

e quindi:

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}$

Tutti gli elementi di $A$ sono reciprocamente indipendenti:

$\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}={\delta }_{jk}$

dove ${\delta }_{jk}$ è il delta di Kronecker. Quindi:

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}{\delta }_{jk}={\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}$

da cui segue:

$d(\det (A))=\sum _i\sum _j{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}d{A}_{ij}$

Si consideri ora il lemma:

$\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{\mathrm{T}}B)$

che segue da:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{\mathrm{T}}B)=\sum _j(A^{\mathrm{T}}B{)}_{jj}=\sum _j\sum _i{A}_{ij}{B}_{ij}=\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}$

e sfruttando il fatto che:

$\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{\mathrm{T}}B)(AB{)}_{jk}=\sum _i{A}_{ji}{B}_{ik}$

Utilizzando il lemma si giunge infine alla formula di Jacobi:

$d(\det (A))=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)dA)$

Bibliografia

• Template:En Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley, ISBN 0-471-98633-X
• Template:En Bellmann, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994

Voci correlate

• Determinante
• Matrice dei cofattori
• Traccia (matrice)

Collegamenti esterni

• Template:Cita web