Matrice dei cofattori

In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine $n$ il cui elemento nella posizione generica $i,j$ è il cofattore (o complemento algebrico) di $A$ relativo alla posizione $i,j$, così definito:

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{i,j}(A):=(-1{)}^{i+j}\cdot \det (A_{i,j})$

qui il termine $\det (A_{i,j})$ rappresenta il minore di $A$ ottenuto cancellando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima.

Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}A=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{1,1}(A)& \dots & {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{1,n}(A)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{n,1}(A)& \dots & {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{n,n}(A)\end{array}\right).$

Matrice aggiunta

La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}$, dall'inglese adjoint matrix.

Quindi:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}A{)}^T.$

Proprietà

La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:

• $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(I)=I$, dove $I$ è la matrice identità
• $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A\cdot B)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(B)\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$
• $A\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)\cdot A=\det (A)\cdot I$

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se $A$ è invertibile, l'inversa è data da:

$A^{-1}=\det (A{)}^{-1}\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$

• $\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A))=\det (A{)}^{n-1}$

Casi particolari

Matrice 2 × 2

L'aggiunta della matrice

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

è la matrice

$\mathrm{adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$

Si noti che

$\det (\mathrm{adj}(A))=\det (A)=ad-bc$

e che

$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))=A.$

Matrice 3 × 3

Data la matrice $3\times 3$

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$

la sua matrice aggiunta è uguale alla trasposta della matrice dei cofattori

$\mathrm{adj}(A)=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}𝐀{)}^T=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right),$

dove

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|=\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right)=a_{im}{a}_{jn}-a_{in}{a}_{jm}.$

Esempi numerici

Sia data la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$. Utilizzando la formula precedente, la sua aggiunta è data da

$\mathrm{adj}(A)=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}A{)}^T=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{array}\right).$

Un secondo esempio è il seguente:

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 2& -1\end{array}\right);$

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{ccc}-3& 3& 3\\ 0& -2& -4\\ 0& -4& -2\end{array}\right).$

Bibliografia

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Voci correlate

• Determinante
• Matrice
• Matrice invertibile
• Matrice trasposta
• Minore (algebra lineare)

Collegamenti esterni

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