Operatore bilineare

In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Definizione

Siano $V$, $W$ e $X$ tre spazi vettoriali sullo stesso campo $F$; un operatore bilineare è una funzione:

$B:V\times W\to X$

tale che per ogni $w\in W$ la mappa:

$v\mapsto B(v,w)$

è un operatore lineare da $V$ a $X$, e per ogni $v\in V$ la mappa:

$w\mapsto B(v,w)$

è un operatore lineare da $W$ a $X$. In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se $V=W$ e si ha $B(v,w)=B(w,v)$ per ogni $v,w\in V$, allora $B$ è simmetrico.

Nel caso in cui $X=F$, si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo $R$. È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in $n$ variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo $R$, un modulo destro $M_R$ e un modulo sinistro ${}_{R}N$, possiamo definire un operatore bilineare $B:M\times N\to T$, ove $T$ è un gruppo abeliano, tale che per ogni $n\in N$, $m\mapsto B(m,n)$, e per ogni $m\in M$, $n\mapsto B(m,n)$ sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

$B(mt,n)=B(m,tn)$

per ogni $m\in M,n\in N,t\in R$.

Proprietà

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che $B(x,y)=\mathrm{𝟎}$ ogni volta che $x=\mathrm{𝟎}$ o $y=\mathrm{𝟎}$. Ciò si prova scrivendo il vettore nullo $\mathrm{𝟎}$ come $0\cdot \mathrm{𝟎}$ e spostando lo scalare $0$ "al di fuori", davanti a $B$, per linearità.

L'insieme $L(V,W;X)$ di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da $V\times W$ in $X$.

Se $V,W,X$ sono di dimensione finita, allora lo è anche $L(V,W;X)$. Se $X=F$, (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è $\dim V\cdot \dim W$ (mentre lo spazio $L(V\times W;K)$ di forme lineari ha dimensione $\dim V+\dim W$). Per provarlo, si scelgano una base $ℬ$ per $V$ e una base $𝒞$ per $W$; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice $A$ data da $a_{ij}=B(b_i,c_j)$, e viceversa (qui $b_i$ e $c_j$ denotano rispettivamente l'$i$-esimo elemento della base $ℬ$ e il $j$-esimo elemento della base $𝒞$).

Se $X$ è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente $\dim L(V,W;X)=\dim V\cdot \dim W\cdot \dim X$.

Esempi

• La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare $M(m,n)\times M(n,p)\to M(m,p)$.
• Se in uno spazio vettoriale $V$ sul campo dei numeri reali $ℝ$ definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare $V\times V\to ℝ$.
• In generale, per uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$, una forma bilineare su $V$ è equivalente a un operatore bilineare $V\times V\to F$.
• Se $V$ è uno spazio vettoriale, $V^{*}$ è il suo spazio duale e $v\in V,f\in V^{*}$, allora l'operatore di applicazioni $b(f,v)=f(v)$ è un operatore bilineare da $V\times W$ nel campo di base.
• Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $F$. Se $f$ è un elemento di $V^{*}$ e $g$ è un elemento di $W^{*}$, allora $b(v,w)=f(v)g(w)$ definisce un operatore bilineare $V\times W\to F$.
• Il prodotto vettoriale in ${ℝ}^3$ è un operatore bilineare ${ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$.
• Siano $B:V\times W\to X$ un operatore bilineare e $L:U\to W$ un operatore lineare; allora $(v,u)\mapsto B(v,L(u))$ è un operatore bilineare su $V\times U$.
• La mappa nulla, definita da $B(v,w)=\mathrm{𝟎}$ per ogni $(v,w)\in V\times W$ è l'unica mappa da $V\times W$ in $X$ che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se $(v,w)\in V\times W$ e $B$ è una mappa sia lineare che bilineare, allora $B(v,w)=B(v,\mathrm{𝟎})+B(\mathrm{𝟎},w)$ (per linearità rispetto alla somma di $V\times W$) e $B(v,\mathrm{𝟎})+B(\mathrm{𝟎},w)=\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$ (per bilinearità).

Bibliografia

• Template:En N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
• Template:EnS. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

Voci correlate

• Forma bilineare
• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Mappa multilineare
• Prodotto scalare
• Tensore

Collegamenti esterni

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