Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni seno, coseno e tangente di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Tavola delle espressioni

Valori esatti di seno e coseno per angoli multipli di 3 gradi.

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo $[0,\frac{\pi }{4}]$ si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali

$\sin 0^{\circ }=0;$

$\cos 0^{\circ }=1;$

$\tan 0^{\circ }=0.$

3° - Esacontagono (60 lati)

$\sin \frac{\pi }{60}=\sin 3^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}(1-\sqrt{3})+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+1)}{16};$

$\cos \frac{\pi }{60}=\cos 3^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}-1)}{16};$

$\tan \frac{\pi }{60}=\tan 3^{\circ }=\frac{[(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2](2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})})}{4}.$

6° - Triacontagono (30 lati)

$\sin \frac{\pi }{30}=\sin 6^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-(\sqrt{5}+1)}{8};$

$\cos \frac{\pi }{30}=\cos 6^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8};$

$\tan \frac{\pi }{30}=\tan 6^{\circ }=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{2}.$

9° - Icosagono (20 lati)

$\sin \frac{\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\frac{-2\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)}{8};$

$\cos \frac{\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\frac{2\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)}{8};$

$\tan \frac{\pi }{20}=\tan 9^{\circ }=-\sqrt{5-2\sqrt{5}}(2+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+1).$

12° - Pentadecagono (15 lati)

$\sin \frac{\pi }{15}=\sin 12^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8};$

$\cos \frac{\pi }{15}=\cos 12^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+(\sqrt{5}-1)}{8};$

$\tan \frac{\pi }{15}=\tan 12^{\circ }=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}(2+\sqrt{5})+(\sqrt{5}+1)}{2}.$

15° - Dodecagono (12 lati)

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4};$

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4};$

$\tan \frac{\pi }{12}=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3};$

$\cot \frac{\pi }{12}=\cot 15^{\circ }=2+\sqrt{3}.$

18° - Decagono (10 lati)

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4};$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{4};$

$\tan \frac{\pi }{10}=\tan 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}}{5};$

$\cot \frac{\pi }{10}=\cot 18^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}.$

21° = 9° + 12°

$\sin \frac{7}{60}\pi =\sin 21^{\circ }=\frac{2\sqrt{5-\sqrt{5}}(\sqrt{3}+1)-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{5})}{16};$

$\cos \frac{7}{60}\pi =\cos 21^{\circ }=\frac{2\sqrt{5-\sqrt{5}}(\sqrt{3}-1)+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{5})}{16};$

$\tan \frac{7}{60}\pi =\tan 21^{\circ }=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}(1+2\sqrt{3}-\sqrt{5})+(2+\sqrt{3})(\sqrt{5}-3)+2}{2}.$

22,5° - Ottagono (8 lati)

$\sin \frac{\pi }{8}=\sin 22,5^{\circ }=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{8}=\cos 22,5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};$

$\tan \frac{\pi }{8}=\tan 22,5^{\circ }=\sqrt{2}-1;$

$\cot \frac{\pi }{8}=\cot 22,5^{\circ }=\sqrt{2}+1.$

24° = 12° + 12°

$\sin \frac{2}{15}\pi =\sin 24^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}(1-\sqrt{5})+2\sqrt{3}(1+\sqrt{5}))}{16};$

$\cos \frac{2}{15}\pi =\cos 24^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}(\sqrt{5}-1)+2(1+\sqrt{5}))}{16};$

$\tan \frac{2\pi }{15}\pi =\tan 24^{\circ }=\frac{(\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3})(3+\sqrt{5})}{4};$

$\cot \frac{2\pi }{15}\pi =\cot 24^{\circ }=\frac{(\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)}{4}.$

27° = 12° + 15°

$\sin \frac{3}{20}=\sin 27^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{5})}{8};$

$\cos \frac{3}{20}=\cos 27^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}{8};$

$\tan \frac{3}{20}=\tan 27^{\circ }=-\sqrt{5-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1).$

30° - Esagono (6 lati)

$\sin \frac{\pi }{6}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2};$

$\cos \frac{\pi }{6}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\tan \frac{\pi }{6}=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3};$

$\cot \frac{\pi }{6}=\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}.$

33° = 15° + 18°

$\sin \frac{11}{60}\pi =\sin 33^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}(-1+\sqrt{3})+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(1+\sqrt{3})}{16};$

$\cos \frac{11}{60}\pi =\cos 33^{\circ }=\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}(+1+\sqrt{3})+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(1-\sqrt{3})}{16};$

$\tan \frac{11}{60}\pi =\tan 33^{\circ }=\frac{\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}(-15+10\sqrt{3}-7\sqrt{5}+4\sqrt{15})+5((-2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})+2)}{10}.$

36° - Pentagono (5 lati)

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{4};$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4};$

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5})}.$

39° = 18° + 21°

$\sin \frac{13}{60}\pi =\sin 39^{\circ }=\frac{2\sqrt{5-\sqrt{5}}(1-\sqrt{3})+\sqrt{2}(+1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})}{16};$

$\cos \frac{13}{60}\pi =\cos 39^{\circ }=\frac{2\sqrt{5-\sqrt{5}}(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}(-1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})}{16};$

$\tan \frac{13}{60}\pi =\tan 39^{\circ }=\frac{(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-2)((2-\sqrt{3})(-3+\sqrt{5})+2)}{4}.$

42° = 21° + 21°

$\sin \frac{7}{30}\pi =\sin 42^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}(1+\sqrt{5})+2(1-\sqrt{5})}{16};$

$\cos \frac{7}{30}\pi =\cos 42^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}(1+\sqrt{5})+2\sqrt{3}(-1+\sqrt{5})}{16};$

$\tan \frac{7}{30}\pi =\tan 42^{\circ }=\frac{-\sqrt{1-2\sqrt{1}}(3+\sqrt{5})+\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{2}.$

45° - Quadrato (4 lati)

$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$\tan \frac{\pi }{4}=\tan 45^{\circ }=1;$

$\cot \frac{\pi }{4}=\cot 45^{\circ }=1.$

Uso delle costanti

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

$V=5e^3\cos 36^{\circ }/{\tan }^{2}36^{\circ }.$

Usando

$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4},$

$\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

$V=\frac{e^3(15+7\sqrt{5})}{4}.$

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli

La derivazione dei valori particolari delle funzioni seno, coseno e tangente nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice $V,$ il punto medio $M$ di un lato che ha come estremo $V$ e il centro $C$ del poligono. Per $N=3,4,5,\dots$ si considera un $N$-agono regolare suddiviso in $2N$ triangoli rettangoli aventi angoli di $180^{\circ }/N$ (vertice $C$), $90^{\circ }$ (vertice $M$) e $90^{\circ }-180^{\circ }/N$ (vertice $V$).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di 2.

• Costruibili
  • Poligoni regolari con $3\cdot 2^n$ lati, $n=0,1,2,3,\dots$
    • 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
    • 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
    • 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
    • 82,5°-7,5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
    • 86,25°-3,75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
    • ...
  • Poligoni regolari con $4\cdot 2^n$ lati
    • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
    • 67,5°-22,5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
    • 88,75°-11,25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
    • ...
  • Poligoni regolari con $5\cdot 2^n$ lati
    • 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
    • 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
    • 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
    • 85,5°-4,5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
    • 87,75°-2,25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
    • ...
  • Poligoni regolari con $15\cdot 2^n$ lati
    • 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
    • 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
    • 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
    • 88,5°-1,5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
    • 89,25°-0,75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
  • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
• Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
  • Poligoni regolari con $9\cdot 2^n$ lati
    • 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
    • 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
    • 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
    • 87,5°-2,5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
    • ...
  • Poligoni regolari con $45\cdot 2^n$ lati
    • 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
    • 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
    • 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
    • 89,5°-0,5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
    • ...

Espressioni non singole

La semplificazione di un radicale doppio non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

$4\sin 18^{\circ }=\sqrt{2(3-\sqrt{5})}=\sqrt{5}-1.$

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha

$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=d+e\sqrt{c}\text{se}{a}^2-b^{2}c$     è un quadrato perfetto.

Voci correlate

• Glossario di trigonometria
• Funzioni trigonometriche
• Identità trigonometriche
• Poligono
• Triacontagono
• Icosagono
• Pentadecagono
• Dodecagono
• Decagono

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web