Radicale doppio

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

$\sqrt{a+\sqrt{b}},$

oppure

$\sqrt{a-\sqrt{b}}.$

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Proprietà

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri $x$ e $y$ tali che:

$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

$a+\sqrt{b}=x+y+\sqrt{4xy}.$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

$\{\begin{array}{c}x+y=a\\ 4xy=b\end{array}$

cioè:

$\{\begin{array}{c}x+y=a\\ xy=\frac{b}{4}\end{array}$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

$t^2-at+\frac{b}{4}=0.$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

$t=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2},$

e quindi:

$x=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2},y=\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}.$

Si ottiene così l'identità cercata:

$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$

Analogamente si può ottenere:

$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che $a$, $b$ ed $a^2-b$ siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se $a^2-b$ è un quadrato perfetto. Ad esempio:

$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2-5}}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt{3^2-5}}{2}},$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}.$

Invece il radicale doppio $\sqrt{3+\sqrt{2}}$ non si può semplificare, dal momento che $3^2-2=7$ non è un quadrato perfetto.

Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che $5,5^2-10=4,5^2$ in quanto $5,5^2-4,5^2=(5,5+4,5)(5,5-4,5)=10$, si ha:

$\sqrt{5,5-\sqrt{2}\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{11}{2}-\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{11-2\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{10}+1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{10}-1{)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{20}-\sqrt{2}}{2}.$

Ramanujan scoprì che

$x+n+a=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a{)}^2+(x+n)\sqrt{\cdots }}}$,

ad esempio

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}.$,

ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.

Esempi

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2+3+2\sqrt{2\cdot 3}}=\sqrt{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}.$

La formula può essere usata per dimostrare che

$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Ecco come si procede:

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos (\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{6})=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi }{6}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2},$

adesso applicando la formula:

$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$

equivalente a

$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Esempio di radicale cubico doppio

$\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=\sqrt[3]{\frac{8\sqrt{5}-16}{8}}=\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{5}-15+3\sqrt{5}-1}{8}}=\sqrt[3]{\frac{(\sqrt{5}-1{)}^3}{8}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Voci correlate

• Radice (matematica)
• Razionalizzazione (matematica)

Collegamenti esterni

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