Condizione di Hölder

In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con 0 < α ≤1.

La condizione

Una funzione di variabile reale $f:(a,b)\to ℝ$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $\alpha$, con $0<\alpha \le 1$, se esiste una costante $C>0$ tale che: per ogni $x,y\in (a,b)$

$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }$

Il numero $\alpha$ si dice esponente di Hölder, mentre $f$ si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando $\alpha =1$. Se $\alpha =0$, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per $\alpha >1$ sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se $0<\alpha \le \beta \le 1$ ogni funzione hölderiana con esponente $\beta$ e definita su un sottoinsieme limitato di $ℝ$ è anche hölderiana con esponente $\alpha$. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono $\alpha$-hölderiane.

Spazio delle funzioni holderiane

Lo spazio di Hölder $C^{n,\alpha }(\mathrm{\Omega })$ delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto $\mathrm{\Omega }$ dello spazio euclideo ${ℝ}^N$, che insieme con le loro derivate fino all'ordine $n$-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente $\alpha$, è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

$\Vert f{\Vert }_{C^{0,\alpha }}=\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}$

se $n=0$ e:

$\Vert f{\Vert }_{C^{n,\alpha }}=\underset{|\beta |\le n}{\max }\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\beta }f(x)|+\underset{|\beta |=n}{\max }\Vert D^{\beta }f{\Vert }_{C^{0,\alpha }}$

se $n>0$, dove $\beta$ varia tra i multiindici.

Compattezza in spazi di Hölder

Sia $\mathrm{\Omega }$ un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano $0<\alpha <\beta \le 1$ due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

$C^{0,\beta }(\mathrm{\Omega })\to C^{0,\alpha }(\mathrm{\Omega })$

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

$|f{|}_{0,\alpha ,\mathrm{\Omega }}\le \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\mathrm{\Omega }{)}^{\beta -\alpha }|f{|}_{0,\beta ,\mathrm{\Omega }}$

vale per tutte le $f\in C^{0,\beta }(\mathrm{\Omega })$. Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma $|f{|}_{0,\beta }$ sono relativamente compatti nella norma $|f{|}_{0,\alpha }$. Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia $(u_n)$ una successione in $f\in C^{0,\beta }(\mathrm{\Omega })$. Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che $u_n\to u$ uniformemente e anche che $u=0$. Allora:

$|u_n-u{|}_{0,\alpha }=|u_n{|}_{0,\alpha }\to 0$

poiché

$\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}={\left(\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y{|}^{\beta }}\right)}^{\frac{\alpha }{\beta }}|u_n(x)-u_n(y){|}^{1-\frac{\alpha }{\beta }}$

e quindi si ha:

$|u_n(x)-u_n(y){|}^{1-\frac{\alpha }{\beta }}\le {(2\Vert u_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }})}^{1-\frac{\alpha }{\beta }}=o(1)$

Esempi

• La funzione $\sqrt{x}$ definita in $[0,3]$ è hölderiana per ogni $\alpha \le \frac{1}{2}$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione lipschitziana
• Seminorma
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio totalmente limitato
• Teorema di Ascoli-Arzelà