Inclusione (matematica)

Siano $A=\{1,2,3,5,11\}$ e $B=\{1,2,3\}$, allora $B\subset A$ è un sottoinsieme di $A$.

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con

$\subseteq$

, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme

$B$

è contenuto o incluso nell'insieme

$A$

se, per ogni elemento

$x$

, se

$x$

appartiene a

$B$

allora

$x$

appartiene ad

$A$

". In simboli, dati due insiemi

$A$

e

$B$

, si ha:

$B\subseteq A⟺\mathrm{\forall }x:x\in B\Rightarrow x\in A.$

L'insieme $B$ si dice sottoinsieme di $A$.

Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ ma che esistono elementi di $A$ che non sono elementi di $B$.

Nel caso in cui tutti gli elementi di $A$ appartengono anche a $B$ si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di $A$ non è compreso nell'insieme $B$, cioè nel caso dell'inclusione stretta.

Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è $\subseteq$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è $\subset$. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con $\subset$ un sottoinsieme e con $⊊$ un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che $B$ non coincide con $A$).

Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è $\supseteq$ (oppure $\supset$) per il sovrainsieme, e $\supset$ (oppure $⊋$) per il sovrainsieme proprio.

Proprietà

• L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:

$A\subseteq A$ (riflessività)

$B\subseteq A\wedge A\subseteq B\Rightarrow B=A$ (antisimmetria)

$C\subseteq B\wedge B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A$ (transitività)

In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di $A$ e $B$:

"$A$ è uguale $B$ se e solo se $A$ è contenuto in $B$ e $B$ è contenuto in $A$",

cioè:

$A=B⟺A\subseteq B\wedge B\subseteq A.$

• L'insieme vuoto $\varnothing$ è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme $A$ si ha che $\varnothing \subseteq A$".

• Valgono

$B\subset A\iff A\supset B;$

$B\subseteq A\iff A\supseteq B.$

• Se $B\subseteq A$, allora:

$B\cup A=A;$

$B\cap A=B.$

Distinzione fra inclusione ed appartenenza

Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.

Esempi:

• è esatta: $2\in \{1,2,3\}$ - cioè $2$ appartiene all'insieme $\{1,2,3\}$
• è errata: $2\subset \{1,2,3\}$ - cioè non si può dire che $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$
• è esatta: $\{2\}\subset \{1,2,3\}$ - cioè il singoletto di $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$

Storia

Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.

Voci correlate

• Appartenenza
• Sottoclasse (insiemistica)
• Sottoinsieme
• Relazione binaria
• Teoria degli insiemi
• Teoria ingenua degli insiemi
• Teorie formali degli insiemi
• Insieme delle parti
• $\cup$ : unione
• $\cap$ : intersezione

Collegamenti esterni

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