Bipolo

Bipolo

Un bipolo, in elettrotecnica, è un elemento circuitale dotato di due morsetti che gli consentono di interagire con i fenomeni elettromagnetici esterni e il cui comportamento agli effetti esterni è completamente definito dal legame costitutivo tra tensione e corrente.

In automatica è assimilabile a un modello black box il cui comportamento è definito da una funzione di trasferimento.

Le proprietà fondamentali del bipolo sono due: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è, a meno del segno, uguale a quella uscente.

Definizione

Condizioni

La descrizione del campo elettromagnetico è basata sulle equazioni di Maxwell e in particolare la sua dinamica è descritta dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère-Maxwell, rispettivamente:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_f+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

Nel caso di regime stazionario, ovvero a flusso magnetico e flusso elettrico costanti come in corrente continua, le correnti dovute alla variazione del campo elettromagnetico e alla polarizzazione elettrica e magnetica sono nulle quindi le due equazioni possono essere semplificate come segue:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=0\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_f$

Queste semplificazioni possono essere ritenute valide anche nel caso sia verificata la condizione di Max Abraham, in un regime variabile infatti, se la lunghezza d'onda del campo elettromagnetico $\lambda$ è molto superiore alle dimensioni del sistema elettromagnetico $\lambda \gg L$ allora il tempo che il fronte d'onda impiega ad attraversare tutto il sistema può essere considerato nullo e di conseguenza il regime variabile in esame può essere considerato quasi stazionario, semplificazione che consente l'utilizzo delle equazioni di Maxwell trascurando le variabili spaziali e ottenere quindi un modello a parametri concentrati. Considerato che la corrente alternata è distribuita in Europa, Asia e Africa alla frequenza di Template:M (in America e parte del Giappone a Template:M) allora la condizione di Max Abraham è rispettata per sistemi con dimensioni molto inferiori a una lunghezza d'onda di circa Template:M, di conseguenza nelle linee di trasmissione è necessario adottare un modello a parametri distribuiti.

Bipolo

Bipolo in regime quasi stazionario in cui è evidenziata la superficie chiusa impermeabile ai fenomeni elettromagnetici e la porta elettrica formata dai conduttori con estremi la coppia ordinata di morsetti. Sulla porta elettrica sono anche evidenziate le due superfici di livello $V_A$ e $V_B$ e la tensione tra i morsetti $V_{AB}$ sul percorso ${\mathrm{\Gamma }}_{AB}$, inoltre è evidenziata la corrente entrante $I_A$ e uscente $I_B$ con le relative superfici orientate ${𝐒}_A$ e ${𝐒}_B$.

Un bipolo è un elemento costituito dall'unione tra una superficie chiusa e una porta elettrica formata da due conduttori aventi per estremi una coppia ordinata di morsetti $\{A,B\}$ in regime quasi stazionario. Da questa definizione derivano le due proprietà fondamentali del bipolo: la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso e la corrente entrante che lo attraversa è uguale in modulo a quella uscente.

In regime quasi stazionario il campo elettrico $𝐄$ è un campo vettoriale conservativo infatti $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=0$ ed è quindi esprimibile come gradiente di un potenziale scalare, il potenziale elettrico: $𝐄=-\mathrm{\nabla }V$. In forma globale si ha allora che l'integrale tra $\{A,B\}$ sul cammino ${\mathrm{\Gamma }}_{AB}$ per il teorema del gradiente è:

$\underset{{\mathrm{\Gamma }}_{AB}}{\int }𝐄\cdot \mathrm{d}𝐥=\underset{A}{\overset{B}{\int }}-\mathrm{\nabla }V\cdot \mathrm{d}𝐥=V_A-V_B$

La tensione $V_{AB}$ ai morsetti del bipolo allora è pari alla differenza di potenziale elettrico tra le due superfici di livello passanti per i morsetti $\{A,B\}$ ed è indipendente dal cammino di integrazione ${\mathrm{\Gamma }}_{AB}$.

In regime quasi stazionario l'unica corrente presente è quella di conduzione che è determinata dal campo di densità di corrente delle cariche libere ${𝐉}_f$. Si ottiene allora che la corrente di conduzione $I_A$ entrante nel morsetto $A$ con sezione ${𝐒}_A$ di superficie $S_A$ e orientamento normale è pari a meno del segno alla corrente $I_B$ uscente dal morsetto $B$ di sezione ${𝐒}_B$:

$I_A=\underset{S_A}{\int }{𝐉}_f\cdot \mathrm{d}𝐒=-\underset{S_B}{\int }{𝐉}_f\cdot \mathrm{d}𝐒=-I_B$

Siccome la superficie chiusa del bipolo è impermeabile a ogni fenomeno elettromagnetico allora agli effetti esterni questo è completamente identificato dalla conoscenza della tensione e della corrente ai suoi morsetti, unici punti in cui il bipolo può comunicare attraverso fenomeni elettromagnetici con l'esterno.

Legame costitutivo

Il comportamento agli effetti esterni di un bipolo è completamente definito dal legame costitutivo che intercorre tra le funzioni rispetto al tempo di tensione $v(t)$ e corrente $i(t)$. Se il legame è definito da:

$f(V,I)=0$

allora il bipolo si dice stazionario. Se invece la caratteristica tensione-corrente è della forma:

$f(v(t),i(t),d/dt,\int dt)=0$

cioè le grandezze variano nel tempo e appaiono derivate e integrali delle tensioni e delle correnti, allora il bipolo è detto dinamico. la caratteristica tensione-corrente del bipolo è in genere rappresentabile con una o più curve nel grafico V-I. Il bipolo stazionario ha una sola caratteristica mentre il bipolo dinamico ne ha infinite a seconda del regime di funzionamento: per esempio imponendo una certa corrente se ne calcola la tensione ai capi (bipolo controllato in corrente). Un altro modo di esprimere la caratteristica è:

$v=f(i)$

oppure

$i=g(v)$

Bipolo lineare

Ebbene a seconda della caratteristica il bipolo è lineare se la caratteristica è lineare cioè della forma (per esempio):

$v=k\cdot i$

Che su un diagramma tensione-corrente rappresenta appunto, una retta passante per l'origine.

Valgono inoltre le proprietà dell'additività e dell'omogeneità (proprietà degli omomorfismi):

$f(i_1+i_2)=f(i_1)+f(i_2)$

$f(\alpha i)=\alpha f(i)$

con $\alpha \in ℝ$.

Analisi termodinamica

Template:Vedi anche Un bipolo è assimilabile a un sistema termodinamico che scambia lavoro elettrico $L_e$ con l'esterno tramite i suoi morsetti, mentre tramite la sua superficie chiusa scambia lavoro non elettrico $L$ in modo reversibile e calore $Q$. Secondo il primo principio della termodinamica allora definite l'energia potenziale elettrica $U_e$ e l'energia magnetica $U_m$ accumulate nel bipolo si ha che:

$\delta L_e=\delta Q+\mathrm{d}{U}_e+\mathrm{d}{U}_m-\delta L$

Definita la potenza elettrica $p=vi$ allora il lavoro elettrico scambiato da un bipolo è $\delta L_e=p\mathrm{d}t=vi\mathrm{d}t$.

Bipoli perfetti

Bipolo resistivo

Bipolo che trasforma irreversibilmente il lavoro elettrico in calore.

$\delta L_e=\delta Q$

Il componente elettrico corrispondente è il resistore. Si tratta di un bipolo lineare e passivo in quanto la sua potenza è sempre assorbita. L'energia del resistore è trasformata in calore irreversibilmente per effetto Joule. L'equazione costitutiva che caratterizza un resistore attraversato da una corrente elettrica i e sottoposto ad una tensione elettrica v risulta essere:

$v=Ri$

Bipolo capacitivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia potenziale elettrica.

$\delta L_e=\mathrm{d}{U}_e$

Il componente elettrico corrispondente è il condensatore. Tra i bipoli dinamici vi sono i condensatori con caratteristica dinamica:

$i(t)=C\cdot \frac{dv(t)}{dt}$

dove $C$ è la capacità. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_0$ della tensione. Inoltre il condensatore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p(t)=0$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo induttivo

Bipolo che trasforma reversibilmente il lavoro elettrico in energia magnetica e il componente elettrico corrispondente è l'induttore.

$\delta L_e=\mathrm{d}{U}_m$

Il componente elettrico corrispondente è l'induttore. Tra i bipoli dinamici vi sono gli induttori con caratteristica dinamica:

$v(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt}$

dove $L$ è l'induttanza. Esso è anche un elemento dotato di memoria poiché la sua caratteristica è univocamente determinata solo se si conosce il valore iniziale al tempo $t_0$ della corrente. Inoltre l'induttore non è un bipolo strettamente passivo infatti può anche essere $p(t)=0$. In tal caso il bipolo è conservativo, esso può immagazzinare energia e rilasciarla completamente (e idealmente).

Bipolo convertitore

Bipolo che trasforma reversibilmente lavoro elettrico in lavoro non elettrico.

$\delta L_e=-\delta L$

Il componente elettrico corrispondente è l'utilizzatore nel caso di lavoro elettrico assorbito o il generatore nel caso di lavoro elettrico generato. Gli elementi che forniscono energia sotto forma di tensione sono i generatori: in particolare il generatore di tensione ideale e il generatore di corrente ideale. Essi sono detti ideali perché teoricamente possono fornire tensioni o correnti indefinitamente nel tempo e senza dissipazione. In realtà questo non è mai vero. Le caratteristiche del generatore sono lineari e quindi il bipolo generatore è lineare, inoltre essi possono fornire energia o anche dissiparla e quindi sono bipoli attivi ma anche passivi.

Bipoli attivi e passivi

A seconda della trasformazione energetica o in generale dell'energia associata ad un bipolo, questo può essere attivo o passivo. Consideriamo un bipolo e calcoliamo l'energia tra due istanti di tempo $t_0,t$:

$\mathrm{\Delta }W=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}p(t)dt$

ebbene se tale energia è sempre positiva data la convenzione dell'utilizzatore: $\mathrm{\Delta }W⩾0$ allora il bipolo è detto passivo (strettamente passivo se $\mathrm{\Delta }W>0$), cioè il bipolo assorbe energia. Viceversa se $\mathrm{\Delta }W⩽0$ allora il bipolo eroga (ossia attua un assorbimento negativo di energia) ed è detto attivo (strettamente attivo se $\mathrm{\Delta }W<0$). Il caso $\mathrm{\Delta }W=0$ è un caso particolare che implica che il bipolo conserva l'energia.

Bibliografia

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Voci correlate

• Morsetto (elettrotecnica)
• Teoria dei circuiti
• Resistore
• Condensatore (elettrotecnica)
• Induttore
• Nullatore
• Noratore
• Energia elettrica
• Tensione elettrica
• Corrente elettrica

Collegamenti esterni

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