Legge di Faraday

L'esperimento di Faraday che mostra l'induzione tra bobine di filo: la batteria liquida (a destra) fornisce una corrente che scorre attraverso la piccola bobina (A), creando un campo magnetico. Quando le bobine sono ferme, non viene indotta alcuna corrente. Ma quando la bobina piccola viene spostata dentro o fuori dalla bobina grande (B), il flusso magnetico attraverso la bobina grande cambia, inducendo una corrente che viene rilevata dal galvanometro (G).

La legge di Faraday è una legge fisica che descrive il fenomeno dell'induzione elettromagnetica, il quale si verifica quando il flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata da un circuito elettrico è variabile nel tempo. La legge impone che nel circuito si generi una forza elettromotrice indotta pari all'opposto della variazione temporale del flusso.

Il fenomeno dell'induzione elettromagnetica è stato scoperto e codificato in legge nel 1831 dal fisico inglese Michael Faraday ed è attualmente alla base del funzionamento di numerosi apparati elettrici, come motori, alternatori, generatori, trasformatori. Assieme alla legge di Ampère-Maxwell, a essa potenzialmente simmetrica, correla i fenomeni elettrici con quelli magnetici nel caso non stazionario: entrambe sono il punto di forza del passaggio dalle equazioni di Maxwell al campo elettromagnetico.

La legge prende anche il nome di legge dell'induzione elettromagnetica, legge di Faraday-Henry o legge di Faraday-Neumann o anche legge di Faraday-Neumann-Lenz per il fatto che la legge di Lenz è un suo corollario.

Descrizione

Forma globale

Orientazione del circuito e della superficie concatenata usati nella legge di Faraday. Quando il flusso magnetico cresce nella direzione della linea orientata si origina una corrente elettrica di verso contrario a quello indicato, in accordo con la legge di Lenz.

La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice $f_{em}$ indotta da un campo magnetico $𝐁$ in una linea chiusa $\partial \mathrm{\Sigma }$ è pari all'opposto della variazione nell'unità di tempo del flusso magnetico ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Sigma }}(𝐁)$ del campo attraverso la superficie $\mathrm{\Sigma }(t)$ che ha quella linea come frontiera:

$f_{em}=-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Sigma }}(𝐁)}{\partial t}$

dove il flusso magnetico è dato dall'integrale di superficie:

${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Sigma }}=\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\int }𝐁(𝐫,t)\cdot d𝐀$

con $d𝐀$ elemento dell'area $\mathrm{\Sigma }$ attraverso la quale viene calcolato il flusso. La forza elettromotrice è definita mediante il lavoro svolto dal campo elettrico per unità di carica $q$ del circuito:

$f_{em}=\frac{1}{q}{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐅\cdot d\mathit{\ell }={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}(𝐄+𝐯\times 𝐁)\cdot d\mathit{\ell }$

dove $\partial \mathrm{\Sigma }$ è il bordo di $\mathrm{\Sigma }$ e:

$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$

è la forza di Lorentz. In caso di circuito stazionario, il termine funzione del campo induzione magnetica e della velocità scompare, e l'integrale assume la forma:

${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐄\cdot d\mathit{\ell }=-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Sigma }}(𝐁)}{\partial t}$

Il segno meno sta ad indicare che la corrente prodotta si oppone alla variazione del flusso magnetico, compatibilmente con il principio di conservazione dell'energia: in altri termini, se il flusso concatenato è in diminuzione, il campo magnetico generato dalla corrente indotta sosterrà il campo originario opponendosi alla diminuzione, mentre se il flusso sta crescendo, il campo magnetico prodotto contrasterà l'originario, opponendosi all'aumento. Questo fenomeno è noto anche come legge di Lenz.

Il fenomeno è perfettamente coerente se riferito a circuiti non deformabili, per i quali la variazione di flusso è unicamente legata alla variazione temporale del campo magnetico stesso. Nel caso vi sia un movimento relativo fra circuito e campo è possibile un approccio tramite la circuitazione indotta dalla forza di Lorentz, dovuta alle cariche del circuito in moto all'interno di un campo magnetico. Si può dimostrare infatti che il primo approccio e il secondo sono equivalenti.

Forma locale

Template:Vedi anche La forma locale (o differenziale) della legge di Faraday è legata alla forma globale dal teorema del rotore:

${\oint }_{\partial S}𝐄\cdot \mathrm{d}𝐫=\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐄\cdot \text{d}𝐬$

Per la definizione di flusso magnetico, e poiché il dominio di integrazione è supposto costante nel tempo, si ha:

$-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_S(𝐁)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{S}{\int }𝐁\cdot \text{d}𝐬=\underset{S}{\int }-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\cdot \text{d}𝐬$

Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

Dimostrazione

Area spazzata dall'elemento dr della curva ∂S nel tempo dt quando la spira si muove a velocità v.

Analogamente agli altri fenomeni che caratterizzano la trattazione classica dell'elettromagnetismo, anche la legge di Faraday può essere derivata a partire dalle equazioni di Maxwell e dalla forza di Lorentz.

Si consideri la derivata temporale del flusso attraverso una spira di area $S(t)$ (che può essere in moto):

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_B}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{S(t)}{\int }𝐁(t)\cdot d{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$

Il risultato dell'integrale dipende sia dal valore dell'integrando, sia dalla regione in cui viene calcolato, per cui:

${\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_B}{\partial t}|}_{t=t_0}=\underset{S(t_0)}{\int }{\frac{\partial 𝐁}{\partial t}|}_{t=t_0}\cdot d{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}+\frac{\partial }{\partial t}\underset{S(t)}{\int }𝐁(t_0)\cdot d{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$

dove $t_0$ è un tempo fissato. Il primo termine nel membro di destra può essere scritto utilizzando l'equazione di Maxwell–Faraday:

$\underset{S(t_0)}{\int }{\frac{\partial 𝐁}{\partial t}|}_{t=t_0}\cdot \mathrm{d}{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}=-{\oint }_{\partial S(t_0)}𝐄(t_0)\cdot \mathrm{d}r$

mentre per il secondo termine:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{S(t)}{\int }𝐁(t_0)\cdot \mathrm{d}{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$

vi sono diversi approcci possibili. Se la spira si muove o si deforma causa una variazione del flusso del campo magnetico attraverso di essa: dato un piccolo tratto $\mathrm{d}r$ della spira in moto con velocità $𝐯$ per un tempo $dt$, esso "spazza" una superficie di area $d{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}=𝐯dt\times \mathrm{d}r$. Pertanto la rispettiva variazione di flusso è:

$𝐁\cdot (𝐯dt\times \mathrm{d}r)=-dt\mathrm{d}r\cdot (𝐯\times 𝐁)$

Quindi si ha:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{S(t)}{\int }𝐁(t_0)\cdot d{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}=-{\oint }_{\partial S(t_0)}(𝐯(t_0)\times 𝐁(t_0))\cdot \mathrm{d}r$

dove $𝐯$ è la velocità di un punto sulla spira $\partial S$.

Unendo i risultati:

${\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_B}{\partial t}|}_{t=t_0}=-{\oint }_{\partial S(t_0)}𝐄(t_0)\cdot \mathrm{d}r-{\oint }_{\partial S(t_0)}(𝐯(t_0)\times 𝐁(t_0))\cdot \mathrm{d}r$

La forza elettromotrice $f_{em}$ è definita come l'energia per unità di carica necessaria per compiere un giro completo della spira. Utilizzando la forza di Lorentz essa è pari a:

$f_{em}=\oint (𝐄+𝐯\times 𝐁)\mathrm{d}r$

da cui:

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_B}{\partial t}=-f_{em}$

Legge di Faraday e relatività

La legge di Faraday descrive il manifestarsi di due fenomeni distinti: la forza elettromotrice dovuta alla forza di Lorentz che si manifesta a causa del moto di una spira in un campo magnetico, e la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.

Richard Feynman così descrive la particolarità di tale principio:

Questa apparente dicotomia fu una delle ispirazioni che portarono Einstein a sviluppare la relatività ristretta. Egli scrisse:

Bibliografia

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• Template:Cita libro See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo elettromagnetico
• Campo magnetico
• Corrente elettrica
• Equazioni di Maxwell
• Esperimenti di Blondel
• Forza di Lorentz
• Legge di Ampère
• Regola del cacciavite
• Teorema del flusso
• Teorema del rotore
• Teorema di Alfvén
• Teorema di Stokes

Collegamenti esterni

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