Arcocotangente

In matematica, e in particolare in trigonometria, lTemplate:'arcocotangente è la funzione definita come funzione inversa della cotangente di un angolo nell'intervallo $(0,\pi )$.

Notazione

Le funzioni arcotangente e arcocotangente a raffronto

La notazione matematica dell'arcocotangente è $\mathrm{arccot}$ o $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}$; è comune anche la scrittura piuttosto ambigua ${\cot }^{-1}$.

Proprietà

L'arcocotangente è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i numeri reali:

$\mathrm{arccot}:ℝ\to (0,\pi ).$

Esistono inoltre i limiti

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arccot}x=0,$

e

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arccot}x=\pi .$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto $(0,\frac{\pi }{2})$, essendo $\mathrm{arccot}x=\pi -\mathrm{arccot}(-x)$.

La derivata della funzione arcocotangente è:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}=\frac{d}{dx}\arctan \frac{1}{x}.$

La serie di Taylor corrispondente è:

$\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi }{2}-x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}-\cdots .$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

$\mathrm{arccot}(-x)=\pi -\mathrm{arccot}x.$

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocotangente del rapporto fra il suo cateto adiacente e il cateto opposto.

Bibliografia

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Voci correlate

• Trigonometria
• Cotangente
• Arcotangente
• Funzione inversa

Collegamenti esterni

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