Arcotangente

In trigonometria lTemplate:'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\subset ℝ.$

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di $x$ è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è $x$. È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è $\arctan$ o $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}$; è comune anche la scrittura ${\tan }^{-1}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

• L'arcotangente è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali:

$\arctan :ℝ\to (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}).$

• La sua immagine è l'intervallo:

$\arctan (ℝ)=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\subset ℝ.$

• Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan (x)=-\frac{\pi }{2},$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan (x)=\frac{\pi }{2}.$

• La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in ℝ:x_1<x_2\Rightarrow \arctan (x_1)<\arctan (x_2).$

• È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

$\arctan (x)=-\arctan (-x)\text{o equivalentemente}\arctan (-x)=-\arctan (x),$

ed è di classe $C^{\mathrm{\infty }}$ cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:

$\mathrm{\forall }{x}_0\in ℝ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0}{\lim }{\arctan }^{(n)}(x)={\arctan }^{(n)}(x_0)$

${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2},$

${\arctan }^{″}(x)=\frac{-2x}{{(1+x^2)}^2},$

${\arctan }^{(3)}(x)=\frac{6x^2-2}{{(1+x^2)}^3},$

${\arctan }^{(4)}(x)=\frac{-24x^3+24x}{{(1+x^2)}^4},$

$\cdots$

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:

$\arctan (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se $|x|\le 1.$

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

$\arctan \left(x_1\right)\pm \arctan \left(x_2\right)=\{\begin{array}{cc}Y& \pm x_1{x}_2<1\\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{o}\left(x_1\right)\frac{\pi }{2}& \pm x_1{x}_2=1\\ Y+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{o}\left(x_1\right)\pi & \pm x_1{x}_2>1\end{array}$

nelle quali

$Y=\arctan \left(\frac{x_1\pm x_2}{1\mp x_1{x}_2}\right).$

Si ha inoltre che, per $x>0$:

$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi }{2}.$

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza $x$ e $1$. L'angolo opposto al cateto di lunghezza $x$ avrà ampiezza pari a $\arctan (x)$, mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza $1$ avrà ampiezza pari a $\arctan \left(\frac{1}{x}\right)$. Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)+\frac{\pi }{2}=\pi ,$

e quindi si giunge a:

$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi }{2}.$

Applicazioni

• In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente.
• Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.

Bibliografia

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Voci correlate

• Tangente (matematica)
• Arcotangente2

Collegamenti esterni

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